Econométrie : spécification stochastique, tests sur les paramètres...

Résumé du document

L'estimateur MCO est linéaire, sans biais et par le théorème de Gauss-Markov, sa variance en fait, dans le cadre de la spécification stochastique des estimateurs linéaires (...)

Extraits

[...] On utilise le test d'autocorrélation afin de vérifier cov(ui;uj) 0 pour Dans la spécification stochastique classique (homoscédasticité) var(u) = E(uu') = σ²I n. σ12 σ1𝑇 En présence d'hétéroscédasticité, on a var(ui) = E(uu') = Ω où, Ω = σ12 . σ1𝑇 σ 𝑇−1,𝑇 σ 𝑇−1,𝑇 . Dès lors, var(𝛽 ) = (X'X)-1 X' E(uu') X(X'X)-1 = (X'X)-1 X'ΩX(X'X)-1. A. Un exemple dans le cas d'un modèle avec un terme d'erreur autorégressif d'ordre AR(1) Ce modèle prend en compte que les résidus sont corrélés aux résidus de la période précédente. [...]

[...] Par conséquent, E(utyt-1) = E[ut(ut-1+ α ut-2+ α2 ut-3 + αt-1 = car ut ~ iid Par ailleurs, on sait que 𝛼 = Malheureusement, E 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 𝑦 𝑡 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 𝑦 𝑡 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 𝐸 𝐸 =𝛼+ 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 𝑢 𝑡 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 𝑢 𝑡 𝑇 𝑦 𝑡=2 𝑡−1 . car le numérateur et le dénominateur contiennent des termes d'erreur. Le modèle est donc biaisé. p lim 𝛼 = 𝛼 + 𝑝 𝑝 lim 𝑇 𝑡=2 𝑦 𝑡−1 𝑢 𝑡 𝑝 lim 𝑇 𝑡=2 𝑦 𝑡−1 𝑇 𝑡=2 𝑦𝑡 𝑢𝑡 =𝛼+ 0 𝑝 lim 𝑇 𝑡=2 𝑦 𝑡−1 = 𝛼. = 0 car ut ~ iid NB: A noté que l'on a utilisé la formule p lim 𝐴 𝐵 = 𝑝 lim 𝐴 𝑝 lim 𝐵 . [...]

[...] Chercher une variable instrumentale consiste donc à chercher une variable z telle que: (on remplace ici, un x i par la variable instrumentale zi) 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑧𝑖 p lim 𝑛 = avec q > 0 p lim 𝑛 𝑖=1 𝑧𝑖 𝑢𝑖 𝑛 Grâce à ce on peut estimer un coefficient: 𝛽𝑣 = 𝑛 𝑖=1 𝑦 𝑖 𝑧 𝑖 𝑛 𝑥 𝑧 𝑖=1 𝑖 𝑖 =𝛽+ 𝑛 𝑖=1 𝑢 𝑖 𝑧 𝑖 𝑛 𝑥 𝑧 𝑖=1 𝑖 𝑖 Toutefois, cet estimateur sera toujours biaisé: en effet, E(𝛽𝑣 ) 𝛽 = E 0 tel que p lim 𝛽𝑣 = 𝛽 + = 𝛽 𝑛 𝑖=1 𝑧 𝑖 𝑢 𝑖 𝑛 𝑧 𝑥 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑞 car xi et ui sont corrélés. Pour un modèle à une variable explicative, yi = xiβ + ui, instrumentée par la variable z. Méthode en 2 étapes On régresse X par la méthode des MCO, xi = ziγ + vi. On obtient alors 𝛾 = 2. [...]

[...] = ρt-1 = 0 Le test s'effectue en 2 étapes: 1. Notre modèle est: yt = xtβ + ut. D'après la méthode des MCO, on estime 𝛽 . On obtient alors et = yt xt𝛽 . Au préalable, on remplace ρi par ϴ i car étant donné que l'on change de modèle, on doit changer de variable Dans notre relation: et = et-1ϴ 1 + et-2 ϴ 2 + . + e1 ϴ t-1 + xtγ + Ɛ t. D'après la méthode des MCO, on estime γ et ϴ ϴ ϴ t1. [...]

[...] L'estimation de β dans la relation Yi = X'iβ + ui par la méthode des MCO. (Ici, ϴ = 0). On obtient 𝑌𝑖 = X'i𝛽 L'estimation de β et ϴ dans la relation Yi = X'iβ + ϴ (X'iβ)² + ui. On replace par la valeur que l'on a trouvée en 1. Yi = X'iβ + ϴ 𝑌𝑖 + ui. (Entre parenthèse, on nous donne les écarts types, car correspondent La statistique de test est: = ϴ 𝑣𝑎𝑟 𝑣𝑎𝑟 (𝛽𝑖 ) dénominateur lors des tests) . [...]