La théorie des jeux - publié le 08/02/2008

Résumé du document

Cours sur la théorie des jeux présentant des définitions, tableaux et explications.

Extraits

[...] Théorie des jeux I. Jeux sous forme normale A. Propriétés de l'équilibre de Nash 1. Optimalité de l'équilibre de Nash Définition : Une issue = d'un jeu est optimale au sens de Pareto s'il n'existe pas d'autre issue x' = (si', sj') tel que : Ui (si', sj') Ui Avec au moins une inégalité stricte pour l'un des joueurs. Il existe un jeu générique, le dilemme du prisonnier qui met en évidence que l'équilibre de Nash est joué en stratégie dominante mais n'est pas pour autant un optimum de Pareto. [...]

[...] Deux joueurs dépose simultanément une pièce sur une table : Si l'un des joueurs joue face et l'autre pile, c'est J1 qui donne sa pièce à J2 Si les deux joueurs jouent la même chose, J2 donne sa pièce à J1 PFP(1 ; ; ; ; On a un jeu à somme nulle MR1 = P MR1 = F MR2 = F MR2 = P MR1 = s1* Il n'existe aucun couple de stratégie tel que MR2 = s2* On n'a pas d'EN en stratégie pure puisqu'un joueur à toujours intérêt à dévier unilatéralement de chaque issu du jeu (pas d'issu stable). Il se peut toutefois qu'il existe des EN en stratégie mixte. [...]

[...] Les deux équilibres de Nash sont des optimums de Pareto. On se retrouve avec un vrai problème d'indétermination lorsque aucun des équilibres de Nash n'est plus efficace au sens de Pareto que le ou les autres. Face au problème de multiplicité, des théoriciens ont proposés deux critères de sélection des équilibres de Nash. Notion d'équilibre corrélé : On ajoute une étape de communication avant le jeu, les joueurs peuvent communiquer entre eux avant de choisir une action. Dans le jeu de la bataille des sexes X et Y peuvent coordonner leurs actions en fonction d'un événement aléatoire qui survient entre le moment où ils communiquent et le moment où ils choisissent leurs actions. [...]

[...] E1(p1) / F L'intersection nous donne le Max des Min. Ce point d'intersection a pour coordonné et en stratégie prudente mixte : Le joueur 1 joue pile avec une probabilité de La valeur du jeu est nulle pour J1 si p1 = De même pour J2 : En stratégie prudente mixte, J2 joue pile avec une probabilité de Rappel : En stratégie mixte en Nash, on trouvait aussi = Ici la solution en stratégie prudente mixte est également 1/2). Dans cet exemple, la solution en stratégie prudente mixte est un EN en stratégie mixte. [...]

[...] ; et ; constituent des équilibres de Nash. Mais ; Pareto-domine ; B). Lorsqu'il y a multiplicité d'équilibres de Nash et un seul optimum de Pareto parmi les deux, le choix tend vers cet optimum de Pareto. Mais souvent il y a multiplicité des équilibre de Nash sans que l'un Pareto-domine le ou les autres. C'est le cas du jeu générique de la bataille des sexes La bataille des sexes : On a deux individus X et X préfère l'opéra et Y préfère le match de foot. [...]