Exercices corrigés de microéconomie

Thèmes abordés

Résolution d'équation, extremum, ligne de niveau, Lagrangien, valeurs optimales, point critique, courbe, prix de marché non réglementé, offre, demande, élasticité des prix

Résumé du document

Ce document contient des exercices corrigés de microéconomie portant sur les lignes de niveau et les extrémums.

Extraits

[...] u(x,y)=3x^2+y^3-3xy ?u/?x=6x-3y ?u/?y=3y^2-3x soit 9x=3y^2+3y, on obtient Exercice 2 Afin de déterminer les extrema des fonctions on écrit un Lagrangien où la fonction est minimisée par rapport à la contrainte S/C. On note ? le coefficient pondérant la contrainte. Le Lagrangien est ensuite dérivé par rapport aux arguments de la fonction soit les variables x et y. On égalise ces dérivées à zéro, pour obtenir un point critique qui lie les deux variables. On remplace ensuite ces variables dans la contrainte pour obtenir les valeurs optimales et y*. [...]

[...] Exercice 3 1. La fonction de demande s'écrit comme suit : p=12+36/(q-36). Le revenu total s'écrit R=pq. On écrit R en fonction de q uniquement, soit : R=(12q^2-396q)/(q-36). On arrive à ce résultat en remplaçant p par son expression p=12+36/(q-36) qu'on multiplie ensuite par q. On note que q doit être différent de 36 - sinon q-36=0 et on ne peut pas diviser par zéro. Le revenu s'annule lorsque q=0 (cas trivial) et q=33. 2. Pour illustrer cela, on représente la fonction y=(12x^2-396x/(x-36)) comme suit : Lorsqu'on remplace x par 33, on peut vérifier que 12*33^2-396*33=0. [...]

[...] Exercice 7 On sait que la demande Qd=15,75 (en milliards) et le prix P=5. On suppose également que ces quantités et prix sont à l'équilibre, donc s'appliquent à l'offre aussi. ?Qd/?P*P/Qd=-0.4 On obtient Qd=cd-1,26P. On vérifie bien que la pente de la demande est négative ?Qo/?P*P/Qo=+0.5 On obtient Qo=co+1,575P. On vérifie bien que la pente de la droite d'offre est positive. Entre 1998 et 2010, la variation était de (15,75-23,5)/(5-2)=-2,58. Sachant que l'élasticité-prix est de et que le prix a augmenté de 150%, la demande diminue de 60%. [...]

[...] Exercice 4 Pour obtenir les courbes de niveau, il suffit de fixer la valeur de puis de représenter y en fonction de x. + ?y. On écrit : u=xy+x. On écrit : On écrit: y=u^2/x. u=x+2y. On écrit : Les courbes de niveau sont représentées comme suit : a b c d Exercice 6 On sait que Qd=160-8p et Qo=70+7p. A l'équilibre du marché, nous avons Qd=Qo soit 160-8p=70+7p. Le prix de marché non réglementé sera donc p*=6. Le loyer d'équilibre sera donc 600 dollars. [...]

[...] A partir du point critique, on obtient x*=12/7. On vérifie bien que 12/7+2*(8/7)=4. On remplace ensuite dans la fonction avec : F(x,y)=2(12/7)^2-6(8/7)^2=-96/49. On prend comme exemple y=1. On vérifie que la contrainte est vérifiée, et la valeur de qui reste inférieur à la valeur Le Lagrangien s'écrit : Les CPO s'énoncent comme suit : ?=10y-3x Le point critique s'écrit donc : x=37/14y Les valeurs optimales pour x et y seront : x*=37/148 et y*=7/74. On remplace les valeurs dans la fonction pour obtenir F(37/148,7/74)=(37/148)^2+3*((7*37)/(74*148))-5*(7/74)^2. On peut utiliser une méthode alternative pour trouver le maximum de la fonction F(x,y). [...]