Devoir Macroéconométrie - Université de Lille - Master 1 (R Studio)

Résumé du document

Il s'agît d'un devoir maison qui comprend trois exercices :

Exercice 1 : A quelles conditions portant sur les paramètres ?_1 et ?_2 le processus AR(2) est-il stationnaire?
Obtenir les équations de Yule-Walker à partir du processus AR(2).

Exercice 2 : Pour un modèle ARMA(1,2) défini par X_t=0.8X_(t-1)+u_t+0.7u_(t-1)+0.6u_(t-2), montrer que:
(a). ?(h) = 0.8?(h ? 1) pour h > 2 .
Calcul de l'esperance


Exercice 3 : Soit un processus donné par X_t=u_t+?u_(t-1) avec u_t ? N (0, 1) quelque soit t. a. Simuler n = 100 réalisations pour ce processus pour ? 0.6

Extraits

[...] Soient r1 et r2 l'autocorrélation empirique d'ordre 1 et r2, respectivement. Soient et les autocorrélations théoriques obtenues à partir du processus AR(2). montrer que r1=ϕ1+r1ϕ2 et r2=r1ϕ1+ϕ2 on a : rh est la valeur empérique de càd rh=ρ(h) Donc: rh=ϕ1ρ(h-1)+ϕ2ρ(h-2) rh=ϕ1rh-1+ϕ2rh-2 r1=r0ϕ1+r1ϕ2 avec r0=ρ(0)=γ(0)γ(0) r1=ϕ1+r1ϕ2 r2=r1ϕ1+r0ϕ2 r2=r1ϕ1+ϕ2 2.c Des deux résultats précédents, déduire que ϕ1=r1(1-r2)1-r1² r1=ϕ1+r1ϕ2 donc: ϕ1=r1-r1ϕ2 r2=r1ϕ1+ϕ2 donc: ϕ2=r2-r1ϕ1 On remplace l'équation de ϕ2 dans l'équation de ϕ1 : ϕ1=r1-r1(r2-r1ϕ1) ϕ1=r1-r1r2+r1²ϕ1 ϕ1-r1²ϕ1=r1-r1r2 ϕ1(1-r1²)=r1(1-r2) ϕ1=r1(1-r2)1-r1² par la suite, On remplace l'équation de ϕ1 dans l'équation de ϕ2 : ϕ2=r2-r1²(1-r2)1-r1² ϕ2=r2-r1²-r1²r2(1-r1²) ϕ2=r2-r2r1²-r1²+r1²r21-r1² ϕ2=r2-r1²1-r1² 2.d Vérifier que les conditions de stationnarité sont remplies pour ϕ1 et ϕ2 z1=-1/3-(1/3)2+4*1/22*1/2≈-1.786 z2=-1/3+1/32+4*1/22*1/2≈1.12 les racines sont donc supérieures en module à l'unité : z1 et z2 donc les conditions de stationnarité sont remplies pour les paramètres ϕ1 et ϕ2 Les questions g et h seront présentées via le code et les explications ci-dessous : Exercice 1 (Questions g et # Estimation d'un AR par les équations de Yule - Walker # Paramètres sigma2u phi1 phi2 # Vérifier la stationnarité z polyroot - phi phi2 Mod ) # Simulation de la série n 102 set.seed (123) # Reproduction des résultats nsim 10000 phiYW matrix ( nsim phiMVC matrix ( nsim for in nsim # 1. [...]

[...] Devoir 2 en Macroéconométrie Exercice 1 : Soit Xt un processus AR(2) défini par Yt=ϕ1Yt-1+ϕ2Yt-2+ut avec ut un bruit blanc faible, de variance finie σ2. A quelles conditions portant sur les paramètres ϕ1 et ϕ2 le processus AR(2) est-il stationnaire? Utilisons l'opérateur retard L Yt-ϕ1Yt-1-ϕ2Yt-2=ut Yt-ϕ1LYt-ϕ2L²Yt=ut Yt(1-ϕ1L-ϕ2L²)=ut Le polynôme caractéristique de cette équation est : Yt(1-ϕ1z-ϕz²)=ut . On a : ϕ(z)=1-ϕ1z-ϕ2z²=0 ce qui est le même que ϕ(z)=ϕ2z²+ϕ1z-1=0 les racines de ce polynome sont : z1 et z2 z1=-ϕ1-ϕ12+4ϕ22ϕ2 z2=-ϕ1+ϕ12+4ϕ22ϕ2 Le procesus est stationnaire si les racines z1 et z2 sont supérieures en module à l'unité, c-à-d z1 et z2 et si ϕ1+ϕ2 2.a. [...]

[...] Simuler n = 100 réalisations pour ce processus pour $ = − 0.6 $ set.seed(123) ma.sim1=arima.sim(n=100,list(ma=-0.6),sd=1) plot(ma.sim1,col="blue",xlab="t",ylab="X",main="MA(1):phi1=-0.6;écart-type=1") abline(h=0,lty=2,col="red") ma.sim1 Time Series: Start = 1 End = 100 Frequency = 1 - -0.56812279 -0.12978015 - -0.57429740 - -0.89360495 - -0.89521950 -0.11328856 -0.18770453 - -0.34929911 - -0.32582473 - -0.39426230 -0.26881564 -0.19689340 - -1.14064598 2.92819378 -0.09341158 - -0.18053786 - -1.04693236 1.65193320 -0.73010714 -0.03181331 -0.81865095 - - -1.72108198 - -1.31264388 - -0.90011583 - -0.60711249 -0.22292192 - -0.04770535 -0.09030644 0.22021083 -1.15526673 -0.88500068 -0.09455402 Ecrire la log de vraissemblance conditionnelle On a observé x1, x x100 observations ou xt=ut+θut-1 tel que ut∼N(0, 1) et θ est le paramètre à estimer . conditionnellement à Ut-1=ut-1 xt suit une loi normale d'espérance $ Ainsi, $ $ $ car: E[ut]=0 et de variance : $Var = 1 $ Ainsi, f(xt Ut-1=ut-1)=12PIexp[-12(xt-θut-1)²] La vraissemeblace conditionnelle est donnée par : f(x1,x ,θ)=f(x100,x99)*f(x99,x98)*f(x98,x97)* . *f(x1,x0) Ainsi f(x1,x ,θ)=12PIexp[-12(x1-θu0)²]*12PIexp[-12(x2-θu1)²]*12PIexp[-12(x3-θu2)²]* . *12PIexp[-12(x100-θu99)²] f(x1,x ,θ)=(12PI)100*exp[-12(x1-θu0)²]*exp[-12(x2-θu1)²]*exp[-12(x3-θu2)²]* . [...]

[...] Simulation de 102 réalisations ar2sim matrix ar2sim 1/6 utsim rnorm ( for in n ar2sim[i phi1 * ar2sim + phi2 * ar2sim + utsim ] } ar2sim ar2sim # # Estimation des paramètres phi et phi par YW. # # Question g.Autocorrélation empirique autoc acf ( ar2sim , drop.lag.0 = F , plot = rhohat autoc $ acf matRho matrix ( matRho rhohat[1] matRho rhohat[1] #Question h vecRho rhohat # Estimation par Yule - Walker phi_YW solve ( matRho , vecRho ) gamma0 acf ( ar2sim , type ='covariance', plot =F)$acf var.hat gamma0 - sum ( phi_YW* vecRho phiYW cbind ( phi_YW , phi_YW , var.hat) # # Estimation des paramètres phi et phi par MV conditionnel # result_MVC arima ( ar2sim , order = , method = include.mean = phi_MVC result_MVC$ coef phiMVC[j cbind ( result_MVC$coef[1] , result_MVC$coef[2] , result_MVC$sigma2 ) } # Graphiques par ( mar , mfrow , mgp ( ) # par ( mar ,mfrow , mgp=c ( ) hist ( phiYW[ , breaks ="sturges", probability , main = "phi ylab = xlab = = " lightblue xlim (0.2 ,0.5) ) hist ( phiYW [ , breaks ="sturges", probability , main = "phi ylab = xlab = col = " lightblue xlim (0.3 ,0.62) ) hist ( phiYW [ , breaks ="sturges", probability , main = " sigma ylab = xlab = col = " lightblue xlim (0.8 ,1.2) ) hist ( phiMVC [ , breaks ="sturges", probability , main = "phi MVC ylab = xlab = col = " lightblue xlim (0.2 ,0.5) ) hist ( phiMVC [ , breaks ="sturges", probability , main = "phi MVC ylab = xlab = col = " lightblue xlim (0.3 ,0.62) ) hist ( phiMVC [ , breaks ="sturges", probability , main = " sigma MVC", ylab = xlab = col = " lightblue xlim (0.8 ,1.2) ) Exercice 2 : Pour un modèle ARMA(1,2) défini par Xt=0.8Xt-1+ut+0.7ut-1+0.6ut-2, montrer que: = 0.8ρ(h − pour h > Calcul de l'esperance E(Xt)=0.8E(Xt-1)+E(Ut)+0,7E(ut-1)+0.6E(ut-2) E(Xt)=0.8E(Xt-1) E(Xt)=0,8μ Calculons γ(h) γ(h)=E(Xt-μ)(Xt-h-μ)=E((0.8Xt-1-μ)+ut+0.7ut-1+0.6ut-2)(Xt-h-μ) γ(h)=E(0.8Xt-1-μ)(Xt-h-μ)+ut(Xt-h-μ)+0.7ut-1(Xt-h-μ)+0.6ut-2(Xt-h-μ) γ(h)=0.8E(Xt-1-μ)(Xt-h-μ) car l'espérance entre les termes croisés est nulle càd E(ut)(Xt-h-μ)=00.7E(ut-1(Xt-h-μ)=00.6E(ut-2)(Xt-h-μ)=0;∀h>2 γ(h)=0.8γ(h-1)) Calculons ρ(h)=γ(h)γ(0)=0.8γ(h-1)γ(0)=0.8ρ(h-1) De ce fait, pour tout ρ(h)=0.8ρ(h-1) b. [...]