Économétrie : Propriétés des estimateurs des moindres carrés ordinaires

Résumé du document

Il s'agit d'un cours d'Économétrie ayant pour objet d'étude les propriétés des estimateurs des moindres carrés ordinaires (MCO).
En l'occurrence c'est un cours de 3e année en Licence mention Administration économique et sociale.

Ce document clair et structuré s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en cursus Administration économique et sociale (AES), Assurance, Banque, Finance, Droit, Économie, Économétrie, Gestion, sciences économiques, GEA… et bien entendu tout(e) autre intéressé(e).

Voici le plan :
Introduction.
1. La dimension aléatoire des estimateurs des moindres carrés ordinaires (MCO)
2. Hypothèses concernant la perturbation
3. Propriétés statistiques des estimateurs des moindres carrés ordinaires
* Théorème de Gauss-Markov
4. Illustration du caractère stochastique de l'estimateur des moindres carrés ordinaires
5. Estimation de la variance des estimateurs des moindres carrés ordinaires
6. Distribution des estimateurs des moindres carrés ordinaires
A. Définition 1 : loi de distribution normale univariée
B. Définition 2 : Loi normale multivariée
C. Propriété : Combinaison linéaire d'éléments d'un vecteur aléatoire normale (ou gaussien)
7. Tests d'hypothèses et intervalles de confiance
8. Test de student

Extraits

[...] Pour illustrer la dimension aléatoire de l'estimateur des MCO, nous allons dans ce paragraphe nous livrer à un exercice de simulation de Monte Carlo. Considérons de nouveau notre population imaginaire de 300 étudiants. Ceux-ci ont des niveaux d'éducation variables dont la distribution est montrée ci-dessous: Distribution de l'éducation dans la population Density Taille de la population: educ 15 Supposons que l'éducation soit reliée au revenu selon la relation suivante: ln revenu i =1 0,15∗educationi i où i est distribuée selon une loi dite normale de moyenne nulle et de variance égale à l'unité. [...]

[...] Pour que cet estimateur soit sans biais il faut que les n conditions suivantes soient n  =∑ d i i . La respectées: n ∑ d i et ∑ d i x i =1. i=1 i=1 De sorte que: n variance de  est égale à V   = 2 ∑ d i Soit i=1 maintenant i=1 n n i=1 v i i ­c i , alors d i i v i et V   = 2 ∑ ci v i 2 = 2 ∑ c i v i 2 c i v i  Pour n achever la démontration il suffit de montrer que ∑ ci v i : i=1 n n i=1 ∑ ci v i ci d i­ci2 =V  X  ­V  X  étant données les conditions que doivent respecter les termes d i pour que l'estimateur  soit sans biais. [...]

[...] De Vreyer Partie IV: Propriétés des estimateurs des Moindres Carrés Ordinaires. Nous savons maintenant comment calculer les estimateurs des MCO. Mais une question demeure: étant donné que la vraie valeur des coefficients du modèle ne sera jamais connue, quelle confiance peut-on accorder aux valeurs estimées de ces coefficients ? Comme nous l'avons vu précédemment, deux critères sont généralement retenus pour évaluer la qualité d'un estimateur: l'absence de biais et l'efficacité. Dans cette partie nous allons examiner les conditions sous lesquelles les estimateurs des MCO satisfont ces deux critères, puis nous verrons la façon dont on peut évaluer le degré de confiance que l'on peut accorder aux estimations des paramètres La dimension aléatoire des estimateurs des MCO. [...]

[...]  X  X = X  cov   ,  cov   ,  X n ∑  X i ­ X i n 1 =cov  ∑ i , i=1 n n i=1 X ∑  X i ­ X  2 i=1 n 1 = n  2 n ∑  X i­ X n ∑ ∑  X i ­ X cov i , j X  i=1 j=1 i=1 dans cette double somme seuls les termes de la forme cov i , j  sont non nuls donc: n 1  X = cov   ,  X n  n ∑  X i­ X ∑  X i­ X V i X  2 i=1 i=1  = 2 n n  n ∑  X i­ X ∑  X i ­ X  2 i=1 i=1 n puisque ∑  X i­ X =0. i=1 Ceci ne suffit cependant pas à démontrer l'efficacité des estimateurs des MCO. En effet, cette propriété signifie que la variance des estimateurs des MCO est la plus faible parmi l'ensemble des estimateurs linéaires des paramètres. [...]

[...] Sous cette hypothèse la valeur du risque de première espèce est égale à deux fois l'aire située sous la courbe de densité à la droite du graphique et à gauche de 3 – 1,96 = 1,04. Pour calculer le risque de seconde espèce il faut connaître la valeur de  sous l'hypothèse nulle. J'ai ici supposé qu'elle était égale à 0. Le risque de seconde espèce est égal à la probabilité de ne pas rejeter l'hypothèse nulle alors que celle-ci est fausse. Dans le graphique ci-dessus elle est égale à l'aire située sous la courbe à la gauche du graphique et à droite de la valeur 1,04. [...]