Économétrie : introduction au calcul de probabilités

Résumé du document

Il s'agit d'un cours d'Économétrie ayant pour objet d'étude une introduction aux calculs des probabilités.
En l'occurrence c'est un cours de 3e année en Licence mention Administration économique et sociale (AES).

Ce document clair et structuré s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en cursus Administration économique et sociale, Assurance, Banque, Finance, Droit, Économie, Économétrie, Gestion, sciences économiques, GEA… et bien entendu tout(e) autre intéressé(e).

Voici le plan :
1. Variables aléatoires et distributions de probabilité
2. Espérance et variance d'une variable aléatoire
3. Couples de variables aléatoires
4. Distributions marginales et indépendance de variables aléatoires
5. Covariance et corrélation
6. Densité et espérance conditionnelles
7. Vecteurs aléatoires

Extraits

[...] Définition Loi de probabilité et densité jointes de deux variables aléatoires. Soient X et Y deux variables aléatoires prenant des valeurs notées x et respectivement. La loi de probabilité jointe de X et de Y est une fonction telle que: 0 f  x , y≤1 pour tout couple ∑ ∑ f  x , y=1 dans le cas discret x y ∫∫ f  x , y dxdy=1 dans le cas continu . x y Dans le cas discret, f  x , y=P  X et Y = yque l'on notera souvent P  X = y. [...]

[...] Elle peut prendre ses valeurs dans l'ensemble Si X est la moyenne des températures au cours du mois de janvier, X est une variable aléatoire continue: elle prend ses valeurs dans un intervalle, par exemple L'ensemble des valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire est appelé univers. Définition Evènement. On appelle événement le fait qu'une variable aléatoire prend une valeur particulière. On notera ou l'évènement « X est égal à x ». Définition Probabilité et densité. Une probabilité est une fonction, associée aux valeurs que peut prendre une variable aléatoire X et qui vérifie les propriétés suivantes: • • 0  f  x1 pour tout x. ∑ f  x=1 dans le cas discret ou ∫ f  x dx=1 dans le cas continu . [...]

[...] La covariance est positive lorsque des valeurs de X plus petites que la moyenne tendent à survenir en même temps que des valeurs de Y également plus petites que la moyenne La covariance est négative lorsque, au contraire, des valeurs de X plus petites que la moyenne tendent à survenir en même temps que des valeurs de Y plus grandes que la moyenne. Cependant la covariance est sensible à l'ordre de grandeur des valeurs prises par les variables aléatoires X et Y. Pour cette raison on préfère parfois utiliser le coefficient de corrélation pour évaluer l'association entre deux variables aléatoires. [...]

[...] Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité P. L'espérance de X est égale à: ∑ x.P  X = x x 2. Cas continu. Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f. L'espérance de X est égale à: ∫ x.f  x. dx x Interprétation: l'espérance d'une variable aléatoire est une moyenne pondérée par leur probabilité de réalisation des valeurs que peut prendre cette variable aléatoire. Propriétés de l'espérance. Soit g une fonction de la variable aléatoire X. [...]

[...] Pour comprendre comment l'on obtient cette matrice nous devons au préalable rappeler quelques notions d'algèbre linéaire. Rappels d'algèbre linéaire: i. transposé d'une matrice. a 11 a 12 ⋯ a 1 p a a ⋯a 2 p Soit ⋮ ⋮ ⋮⋮ a n1 a n2 ⋯ a np   La matrice transposée de notée est égale à:   a 11 a 21 ⋯ a n1 = a 12 a 22 ⋯ a n2 ⋮ ⋮ ⋮⋮ a 1 p a 2 p ⋯ a np matrice équivaut donc à inverser lignes et colonnes . [...]