Grand oral de mathématiques entièrement rédigé

Résumé du document

Grand oral de mathématiques sur la problématique : La modélisation mathématique, une démarche fréquente ?
Plan : Introduction
I) Définition et étapes de la modélisation
II) Un outil largement appliqué dans de nombreux domaine, exemple et explications
III) Le cas du modèle malthusien, présentation de la prolifération des lapins en Australie
Conclusion
Développe des sujets tels que les équations différentielles et les logarithmes.

Extraits

[...] La modélisation mathématique, une démarche fréquente ? INTRODUCTION : Je me suis toujours intéressé aux mathématiques ; durant ma scolarité, on m'a souvent répété que les mathématiques étaient partout, dans tous les domaines. Pour ma question de grand oral, je me suis alors demandé si c'était réellement le cas et si la modélisation mathématique est une démarche fréquente. Tout d'abord, qu'est-ce que la modélisation mathématique ? La modélisation mathématique utilise un ensemble de concepts, de méthodes et de théories mathématiques qui permettent de décrire, comprendre, prévoir l'évolution des phénomènes qui sont externes aux mathématiques. [...]

[...] L'hypothèse malthusienne de départ était donc que : Les nombres de naissances et de morts dans une population, pendant une période de courte durée, sont proportionnels à : - L'effectif de cette population ` La durée de cette période On obtient ainsi une équation différentielle du premier ordre, c'est à dire une équation qui exprime la dérivée de en fonction de u. Si on connait la valeur initiale on peut alors calculer les valeurs pour tout instant t. Lorsque l'on modélise graphiquement cette suite on obtient : - Une croissance exponentielle : c'est bien ce qui a été observé pendant un certain temps. Mais Est-ce vraisemblable sur une longue période ? Car la Surface de l'Australie est de 7 millions de km^2. [...]

[...] Ici, on doit tenir compte d'un effet de saturation du milieu. En effet, il faut prendre en compte les contraintes alimentaires Ainsi, le modèle de Malthus est un modèle exponentiel d'évolution de l'effectif de la population. Il prévoit que l'effectif de la population décroit vers 0 si le taux de mortalité est supérieur au taux de natalité et croit vers l'infini si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité. CONCLUSION : En conclusion, la modélisation mathématique est une démarche de plus en plus fréquente, qui emploie de nombreux modèles tel que le SIR et celui de Malthus, tous conçus pour décrire ou prédire l'évolution de dynamiques de phénomènes extérieurs aux mathématiques tel que l'évolution d'une pandémie ou de la croissance d'une population comme nous avons pu le voir. [...]

[...] Le plus simple et le plus utilisé est le modèle SIR, où toute la population peut être partagée en trois états : sains, infectés, rétablis. La dynamique de la maladie dépend alors des échanges entre ces trois compartiments. Mais il y a aussi des maladies qui ne nécessitent que deux boites seulement : pour le VIH, il n'y a que des personnes saines ou infectées, même si les effets de cette infection peuvent être aujourd'hui contrôlés. III ) Nous allons à présent nous intéresser à un modèle de modélisation très répandu : le modèle de Malthus. [...]