Résumé de l'article intitulé « Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques. Un exemple : les structures additives »

Résumé du document

Dans cet article intitulé « Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques. Un exemple : les structures additives », Gérard Vergnaud commence par situer la didactique des mathématiques et ses enjeux. En effet, il semble que la didactique des mathématiques ait pour objet d'étudier les mécanismes de transmission et d'appropriation des connaissances mathématiques, et ce sans se limiter aux mathématiques ou à la psychologie, mais de manière spécifique. Ainsi, l'auteur va débuter son argumentaire par donner une conception interactive de la formation des connaissances, puis il fait part d'une approche développementale, après quoi il s'attache à mettre en lumière les concepts de théorème-en-acte et de champ conceptuel, puis, pour terminer, il aborde la représentation et les rapports entre signifiants et signifiés.
Pour l'auteur, dans tous les domaines d'enseignement, ce sont les résolutions de problèmes qui permettent au savoir de se former, mais pas en mathématiques. En effet, il semble que l'enseignement des mathématiques passe par la transmission de « manières de faire » ou d'algorithmes : des procédures à appliquer à des types restreints de problèmes (au sens large). La didactique s'intéresse principalement aux situations-problèmes qui permettent à un concept d'avoir une signification et une fonction. Ainsi, elle les recherche, les analyse et les classe de manière à, d'une part, permettre à l'enseignement de solliciter davantage de relations et de problèmes variés, et d'autre part, approfondir la fonction et l'assise d'un concept. L'auteur rappelle ensuite que les situations rencontrées par les élèves façonnent leurs conceptions, ce qui peut engendrer des écarts importants et durables entre les conceptions des élèves et les concepts mathématiques. Il prend l'exemple de la soustraction qui représente pour le jeune enfant une transformation correspondant à une diminution d'une quantité de départ (par perte, consommation ou vente). Cette conception amène des difficultés pour comprendre la soustraction comme un complément, l'inverse d'une augmentation, une différence entre états successifs, une relation de comparaison ou comme une différence entre transformations (exemples 1 à 5), qui demandent d'effectuer différents calculs relationnels, bien qu'au final l'opération soit la même. Ces écarts entre conceptions des enfants et concepts mathématiques ne peuvent être ignorés par les enseignants, qui doivent savoir les repérer et les prendre en compte pour réussir à les changer. En effet, l'enseignement doit pouvoir mettre en défaut ces conceptions erronées pour qu'elles puissent être remises en question par l'enfant, et qu'il puisse ensuite les adapter aux relations ou aux données nouvelles. Le savoir de l'élève devient opératoire par la résolution de problèmes, par sa propre activité, c'est pourquoi l'enseignement doit pouvoir amener à l'élève des situations permettant de mettre à l'épreuve ses conceptions et ses compétences et ainsi étendre la signification d'un concept. Les compétences de l'élèves sont toujours liées à des conceptions, de même que pratique et théorie sont liés.

Extraits

[...] Ils ont joué une partie. Jean a gagné 20 billes. Combien Jean a-t-il de billes de plus que Pierre maintenant ? L'énoncé P'1 est assez complexe car il demande à l'enfant de comparer deux états finaux. Un enfant a gagné 20 billes, mais comme ils ont joué ensemble l'autre a aussi perdu 20 billes. L'écart entre le nombre de billes de Jean et celui de Pierre est donc double. Il n'est pas aisé pour l'enfant de se représenter ce transfert. [...]

[...] P6 : Combien Jean a-t-il de voitures en tout ? Il a 13 voitures rouges et 17 voitures bleues. P10 est un problème qui relève d'une relation additive de type IV : composition de transformations. L'objet du problème est de faire rechercher la transformation initiale. Ici, la structure additive (soustraction) est conçue comme une différence entre transformations. P10 : Jean a joué 2 parties de billes. À la deuxième partie il a perdu 6 billes. Il ne se souvient plus de ce qui s'est passé à la première partie. [...]

[...] De plus, le contexte scolaire peut également laisser penser à l'élève qu'on attend de lui une réponse, il doit trouver une solution au problème qu'on lui propose. L'intérêt de ce problème est de montrer aux élèves ce qu'il est nécessaire de savoir dans l'énoncé pour résoudre un tel problème. La représentation du problème et celle de sa solution que je donnerais sont les suivantes : Représentation du problème P'3 : Représentation de la solution de P'3 : Impossible. A quel niveau de l'enseignement peut-on proposer chacun de ces trois énoncés ? [...]

[...] En ce qui concerne le problème il suffit que les données manquantes soient connues, c'est-à-dire que le nombre de billes initial soit donné. Il faudrait également que la question ne porte pas sur une comparaison après transformation. Par exemple : : Jean et Pierre avaient 7 billes chacun. Ils ont joué une partie avec Didier. Jean a gagné 10 billes et Pierre 6 billes. Combien ont-ils de billes maintenant ? VERGNAUD Gérard, "Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques : un exemple : les structures additives", Revue Grand p. 21-40, 1986. [...]

[...] En tout cas, pour des élèves de cycle il faut que les calculs reposent sur un seul élément. C'est-à-dire qu'il ne faut pas que cela demande une comparaison de mesure après transformation, ce qui représente plusieurs éléments. Pour cela, il faut par exemple connaître le nombre de billes de départ et demander l'état final : : Jean et Pierre avaient chacun 15 billes. Ils jouent une partie. Jean a gagné 8 billes. Combien ont-ils de billes maintenant ? Le problème pour être posé au cycle doit porter sur une seule transformation, et que soit l'état final et la transformation, soit l'état initial et la transformation, soit l'état initial et l'état final soient connus. [...]