L'Analyse en Composantes Principales (ACP)

Résumé du document

L'A.C.P est à classer parmi les statistiques descriptives. Elle va s'appliquer dans les cas où plusieurs variables observées, tendent à varier ensemble (quand elles sont en corrélation). On peut chercher si cette tendance peut s'expliquer par l'existence d'un ou plusieurs facteurs de variation, liés à la fois à toutes les variables observées. L'A.C.P est une technique qui permet de faire la synthèse de l'information contenue dans un grand nombre de variables. Les composantes principales sont de nouvelles variables indépendantes, qui sont les combinaisons linéaires des variables initiales, rendant compte de la variation maximale.

L'A.C.P ne peut se pratiquer que sur des variables d'intervalles. On peut éventuellement accepter des variables ordinales, dans le cas de la validation d'un questionnaire [...]

Extraits

[...] Elle peut être obtenue par une méthode de calcul de type varimax. Dans cette structure simple, on distingue deux types de structures : -une structure où les facteurs sont obliques, c'est à dire que les facteurs peuvent être intercorrélés entre eux. - une structure où les facteurs sont orthogonaux (indépendants), c'est à dire qu'ils ne sont pas corrélés entre eux. [...]

[...] Combien de composantes principales doit-on garder pour l'interprétation ? Il n'y a pas de règles très strictes. On peut tout d'abord utiliser une règle de bon sens, soit celle de conserver seulement les composantes principales que l'on sait interpréter. D'autre part, il y a plusieurs critères : -critère de KAISER : on conserve les composantes principales dont la valeur propre est supérieure à 1. -critère de CATTELL :il faut tracer la courbe des valeurs propres. On retient les variables qui sont au dessus du point d'inflexion de la courbe (cf. [...]

[...] R im = 0,4864 x 3,328 = -0,887 II) LA SECONDE COMPOSANTE PRINCIPALE Pour cette seconde composante principale, par construction, la valeur propre sera moins importante que la première, donc le pourcentage de variance expliquée, sera également moins important. Si on additionne les pourcentages de variance expliquée des deux premières composantes principales, on obtient de la variance totale. La matrice des vecteurs propres, nous permet de formuler l'équation de la seconde composante principale = -0,564 (mathématiques) - 0,3969 (sciences) + 0,635 (français) + 0,348 (latin) III) LA REPRESENTATION GRAPHIQUE Cf. le polycopié 9. La variable latin est celle qui a la signification la plus forte (très proche de Le français et le latin représentent le pôle positif. [...]

[...] ELEVES 1 réelle Q.L.T JEAN PATRICK VALERIE PHILIPPE SOPHIE CLAUDE EMILIE MARC L'axe 1 caractérise bien presque tous les sujets sur 8). Il caractérise mal SOPHIE et VALERIE (ce qui est différent sur l'axe 2). VII) LA NOTION DE CONTRIBUTION Cette notion s'applique à la fois aux individus et aux variables. Ex: contribution d'un individu, à la construction d'une composante principale. Ex: contribution d'une variable, à la construction d'une composante principale. Contribution d'un individu au plan principal Le plan principal est ce qui est représenté graphiquement avec les deux premières composantes principales. [...]

[...] On peut aussi créer un individu littéraire (axe 2). Quand on projette des individus supplémentaires, il faut regarder la qualité de représentation de ces individus, c'est à dire si leur distance avec le sujet moyen, représente-t-elle bien la distance réelle. ELEVES MATHEMATIQUES SCIENCES FRANÇAIS LATIN Scientifique Littéraire S (normée) -0,92 -0,81 L (normée) -0,46 - Pour déterminer la distance réelle : 2 = -0,564 (mathématiques) -0,3969 (sciences) + 0,635 (français) + 0,348 (latin) - Le score du sujet scientifique sur l'axe 2 est : d scientifique 2 = -0,564 x 0,59 - 0,3969 x 0,63 + x 0,92 + 0,348 x 0,81 = -1,45 d scientifique 2 = -1,45 = 2,10 d scientifique réelle = 0,59 + 0,635 + - 0,81 = 2,25 Q.L.T scientifique 2 = 2,10 x 100 = - Le score du sujet littéraire sur l'axe 2 est : d littéraire 2 = -0,564 x - 0,3969 x + x 0,81 + 0,348 x 1,14 = 1,39 d littéraire 2 = 1,39 = 1,9321 d littéraire réelle = -0,46 - 0,55 + 0,81 + 1,14 = 2,47 Q.L.T littéraire 2 = 1,93 x 100 = On a aussi la possibilité de positionner des groupes naturels de sujets. [...]