Epistémologie : la logique de l'infini

Thèmes abordés

Sciences humaines et arts, Épistémologie, logique, infini, classification prédicative, mémoire de M. Russel, logique paradoxale, paradoxe du menteur, proposition d'ordre infini, mémoire de M. Zermelo

Résumé du document

La logique appliquée à l'infini pose problème car la logique ne considère au départ qu'un nombre fini d'objets. Les règles de la logique sont valables si la classification est constante, or même si nous la proclamons ainsi, parfois elle ne l'est pas et ne peut pas l'être. Nous considérons ainsi que la classification est immuable et que le raisonnement ne débute qu'après l'avoir déterminée. Mais il y a un problème car la classification ne peut être déterminée en totalité, seulement une fois que toutes les phrases auront été triées ; ceci dit toutes les phrases ne seront triées seulement qu'une fois la classification trouvée.
L'infini actuel( 1909) n'est pas réellement défini, nous parlons de collection infini c'est-à-dire un collection dans laquelle on ajoute autant d'éléments que l'on veut, soit un nombre d'éléments qui n'est pas fini.

Extraits

[...] Donc il est évident qu'une définition peut être prédicative ou non. Mais il y a un problème , un classification peut être prédicative mais les objets classés ne le sont pas forcément c'est a dire qu'ils peuvent changé au cours de la classification. Exemple des nombre entiers classés en fonction de leur grandeur, prenons deux classe A et B des nombres a,b,g que l'on range dans ces classes , admettons que a et b appartiennent à A on classe donc d'abord a puis b en fonction de a mais pour cela il faudrait que notre a n'ai pas changé entre temps. [...]

[...] Donc on peut traduire A(NV)^a avec a infini mais on ne sait pas trop ce que cela peut représenté. Si on répond oui a la question il faudra préciser ce que veut dire , des objets d'ordre infini . Si on répond non , comment pourra-t-on distinguer les nombres fini des nombres infini pas la théorie des types ? La théorie des types est fondée sue la théorie des ordinaux, alors comment pourrait-on fondée la théorie des ordinaux sur celle des types ? En d'autre terme on suppose une théorie qui n'est pas démontrable sans celle qu'on utilise. [...]

[...] Donc ces définitions supposeraient déjà qu'on connaisse la différence entre un nombre fini et un nombre infini. Donc ces définitions ne nous permettent pas de distinguer ces nombre. Le mémoire de M.Zermelo Zermelo propose des axiomes qui permettraient d'établir toute les vérités mathématiques sans contradiction mais pour cela il aurait dû ce basé sur des vérités générales comme Hilbert qui c'est basé sur l'analyse pour la géométrie. Mais Zermelo veut que ses axiomes n'aient besoins de rien pour exister , ils seraient donc évidents. [...]

[...] Mais la définition de la classe récurrente qui nous dit que la somme de deux nombres entier est un entier n'est pas prédicative , c'est donc pour la rendre prédicative qu'il faut définir : La classe récurrente du premier ordre , celle qui n'ont pas besoins de la notion d'entiers pour être définit. Les entiers du premier ordre , ceux qui appartiennent aux classes du premier ordre. Les classes récurrentes du second ordre , celle qu'on définit en utilisant la notion de premier ordre. De même les entiers du second ordre sont ceux qui appartiennent aux classes du second ordre. Et on peut de définir ainsi les classes supérieurs . [...]

[...] Si on doit apprendre a un élève la différence entre l'infini puis on lui montre une petite partie qu'on sait sur l'infini puis on lui montre une petite partie de ce qu'on vient de lui faire découvrir avec un nombre fini de nombres. Or ce n'est pas comme ça que le cerveau humain fonctionne naturellement. Même si cela permettrais de ne pas avoir trop de contradiction, au niveau psychologique ce n'est pas une bonne méthode. M. Russel disait que ce n'est pas une question de psychologie mais de logique, or il n'y a pas de logique sans psychologie. Cette différence d'opinion prouve clairement que cette discutions ne sera et ne pourra jamais être terminée. [...]