Analyse : Peut-on tout démontrer ? (2008)

Résumé du document

Pour établir leur théorèmes, les mathématiciens ne font jamais appel à l'expérience sensible, évitant ainsi une source d'erreurs toujours possibles ; mais ont le recours à la démonstration qui, parce qu'elle obéit aux lois de la seule logique, est capable de formuler des vérités. Cela signifie-t-il pour autant que tout soit démontrable ?
Il existe une foule d'énoncés que l'opinion commune tient pour vrais, sans les avoir démontré auparavant, tout simplement parce qu'ils apparaissent comme évidents. Mais tout ce qui est évident est-il toujours vrai ? De même, l'induction peut-elle nous aider dans la recherche de la vérité ?
D'un côté, pour établir une démonstration vraie, il nous faut partir de prémisses vraies qui doivent elles aussi avoir été démontrées comme telles ; or de cette façon nous sommes pris dans une régression à l'infini. Pour autant, peut-on se résoudre à poser, en amont de toute démonstration, de l'indémontrable ? Certes, l'intuition et l'induction permettent de connaître des vérités premières indémontrables, mais peut-on vraiment s'y fier ?

Extraits

[...] Peut-on tout démontrer ? Pour établir leurs théorèmes, les mathématiciens ne font jamais appel à l'expérience sensible, évitant ainsi une source d'erreurs toujours possibles ; mais ont le recours à la démonstration qui, parce qu'elle obéit aux lois de la seule logique, est capable de formuler des vérités. Cela signifie-t-il pour autant que tout soit démontrable ? Il existe une foule d'énoncés que l'opinion commune tient pour vrai, sans les avoir démontrés auparavant, tout simplement parce qu'ils apparaissent comme évidents. [...]

[...] Ainsi, la question peut-on tout démontrer ? nous invite elle-même à démontrer que tout ne peut être démontrable, ce qui relève alors de l'impossible. En effet, les pouvoirs de la démonstration sont limités à l'univers dont nous pouvons avoir une approche strictement scientifique, même si tout n'y est pas réellement démontrable. Le souci de démontrer appartient à une recherche de la vérité ou de connaissance qui est légitime dans les domaines offerts à cette dernière, mais pas au-delà. De plus, il nous faut nous demander si pouvoir tout démontrer serait vraiment souhaitable, et surtout si cela aurait-il encore un sens ? [...]

[...] Or il est absolument impossible de tout démontrer : on irait à l'infini, de telle sorte que, même ainsi, il n'y aurait pas de démonstration. Et s'il y a des vérités dont il ne faut pas chercher de démonstration, qu'on nous dise pour quel principe il le faut moins que pour celui-là ? La démonstration en appelle donc nécessairement à un au-delà d'elle-même, c'est-à-dire de l'indémontrable. Cet indémontrable est constitué des propositions premières auxquelles on finit par aboutir en remontant la chaîne des déductions. [...]

[...] Seulement, si on ne peut pas tout démontrer, notre raisonnement peut- il encore être vrai ? La démonstration est-elle la seule voie d'accès au vrai ? Pour qu'une démonstration soit parfaite, Pascal énonce dans son ouvrage De l'esprit géométrique, deux conditions nécessaires : l'une, de n'employer aucun terme dont on n'eût auparavant expliqué nettement le sens ; l'autre, de n'avancer jamais aucune proposition qu'on ne démontrât par des vérités déjà connues ; c'est-à-dire, en un mot, à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions [ ] Ainsi, respecter cette double exigence, c'est mettre en ordre ses pensées. [...]

[...] Le syllogisme est un raisonnement déductif rigoureux, qu'il définit comme un discours tel que certaines choses étant posées quelques autres choses en résultant nécessairement par cela seul que les premières sont posées C'est donc un mode d'enchaînement valide de propositions, ce qu'Aristote a développé dans son Organon, par la célèbre théorie du syllogisme, dont la forme classique est la suivante : Tout A est or C est donc C est B : Par exemple, tous les hommes sont mortels, or les Grecs sont des hommes, donc les Grecs sont mortels. Le syllogisme tire sa validité de sa seule forme, indépendamment du contenu. Ainsi, pour que la conclusion d'un syllogisme soit vraie, il faut que ses deux prémisses soient matériellement vraies, et que le terme intermédiaire fasse passer clairement et explicitement de la première prémisse à la conclusion. Mais comment faire pour établir des prémisses vraies ? Pour nous assurer que ces prémisses soient bien vraies, il faut qu'elles aient été elles aussi démontrées. [...]