Pourquoi tout savoir n'est-il pas démontrable ?

Thèmes abordés

Démonstration du savoir, vérité d'une connaissance, logique, argumentation, Platon, vérité absolue, rationalité, sciences, mathématiques, axiomes, Leibniz, René Descartes, Blaise Pascal, Aristote, raisonnement

Résumé du document

La démonstration est un acte de la raison qui "montre" la vérité d'une connaissance en articulant entre elles des propositions, formées sur les propriétés de concepts, pour obtenir, par leur seul enchaînement logique, une conséquence universelle et nécessaire appelée "vraie". Par opposition, une connaissance par vérification est sans nécessité ; dire qu'il fait beau, cela dépend de la constatation de celui qui l'affirme, il a raison par rapport à son expérience. Seule la confirmation de son expérience par celle d'autrui vérifie ce qu'il dit et à force d'argument. Mais il ne démontre pas sa vérité. Car la démonstration dépend d'un raisonnement que tout le monde peut faire sans référence à son expérience. Le problème est triple : savoir pourquoi tout savoir n'est pas démontrable, si la démonstration implique toujours une vérité, et si toute vérité est démontrable.

Extraits

[...] Or le système euclidien n'est qu'un choix particulier d'axiomes dans une géométrie plus large. Les sciences du XXe siècle ont opéré leur évolution en particulier grâce à l'introduction par Einstein de la géométrie non euclidienne à la de la courbure de l'espace-temps. Il montre l'applicabilité d'axiomatiques fondées sur de l'indémontable à la connaissance scientifique d'objets théoriques non intuitifs. Les sciences construisent des modèles de fonctionnement et trouvent dans les mathématiques les structures abstraites pour construire leurs objets, les unifier dans des ensembles plus grands, calculer leurs résultats et les mesurer dans leurs expérimentations. [...]

[...] Plusieurs axiomatiques peuvent ainsi être valides en même temps selon la place et les rapports établis entre des propositions identiques, comme cela se passe pour les géométries euclidiennes et non euclidiennes. La science est rationnelle, mais elle ne peut prouver que le réel est rationnel Les mathématiques sont donc non intuitives, mais les sciences en font leur langage. Descartes et Newton pensaient que l'espace euclidien était proche de l'espace perceptif. Par conséquent, la science classique a pensé que le monde physique était un ensemble de choses organisées dans un cadre spatio-temporel dont elle pouvait exprimer les lois mathématiquement. [...]

[...] Descartes parle d'évidence pour désigner la certitude de la vision d'ensemble du sujet à  la clarté et à la distinction  d'une démonstration. L'intuition de la vérité d'une démonstration vient des  longues chaînes de raisons  , selon le Discours de la méthode, où les propositions initiales amènent nécessairement, maillon par maillon, à la conclusion. Les Éléments d'Euclide, écrits au IVe siècle av. J.-C., sont le modèle d'une telle vérité : construction purement déductive, à partir de fondements, et propositions constituant la géométrie plane (définition du vocabulaire, postulats et notions communes ou axiomes). [...]

[...] Cette crise des fondements repose sur l'idée qu'aucun principe n'est évident, absolu et intuitif. Les propositions logiques sont dénuées de sens, et reposent sur des axiomes posés conventionnellement a priori. Les objets des démonstrations ne sont que des signes d'un langage sans référent et dont on définit abstraitement les lois de combinaison non contradictoires. La vérité des mathématiques n'est pas absolue Gödel établit l'idée du formalisme mathématique en 1931 : ii montre que la genèse des mathématiques aboutit à l'idée qu'elles ne sont jamais absolues et achevées et qu'un énoncé peut toujours être non démontrable comme sa négation aucune démonstration n'est donc jamais certaine. [...]

[...] Mais elle est aussi une vigilance de l'esprit contre la tromperie. Démontrer repose sur un langage où les mots sont définis univoquement et la grammaire structurée selon la seule exigence de déduction. Platon insiste sur cette forme de vérité contre la séduction de discours qui persuadent les foules par les mots. Reposant sur la mise en forme de l'opinion par des procédés rhétoriques, ils n'ont que l'apparence du savoir et de la vérité. Ce que les sophistes défenseurs de l'impossibilité de la vérité contre Platon, admettent placer la géométrie en préalable de toute formation intellectuelle est un acte politique et moral : elle utilise le langage pour ne pas se tromper ni tromper. [...]