La démonstration peut-elle venir à bout de tout ?

Thèmes abordés

Philosophie, Démonstration, Science, Sophisme, Syllogisme, Dieu, Descartes, Kant, Anselme de Cantorbéry, Aristote, Sextus Empiricus, Vérité

Résumé du document

La démonstration est un raisonnement qui consiste à établir la vérité d'une proposition. Elle permet de donner une valeur à des propos, une affirmation. Pour beaucoup, celui qui démontre est celui qui adopte une attitude rationnelle. Quotidiennement, on constate que l'on tient des faits pour vrai sans les avoir démontrés auparavant. Pour Aristote (Seconds Analytiques), il existe dans les mathématiques des principes premiers, indémontrés et indémontrables, à la base de toute démonstration. Le théorème d'incomplétude de Gödel va même plus loin en affirmant qu'on ne peut tout démontrer dans le domaine des mathématiques. En considérant ces mathématiques comme le domaine privilégié d'application de la démonstration, on peut alors se poser la question : « Peut-on tout démontrer ? ».

Extraits

[...] On ne peut tout démontrer mais alors faut-il renoncer à tout démontrer ? Kant, dans la Critique de la raison pure, énonce son point de vue selon lequel il existerait des antinomies de la raison pure pour les objets métaphysiques, qui se situent au-delà de l'expérience. Ainsi, ces antinomies formuleraient pour chaque problème une thèse et une antithèse, toutes les deux valables. La première antinomie concerne la finitude du monde : Le monde a un commencement dans le temps et n'est pas limité d'un point de vue spatial ou Le monde n'a pas de commencement et n'a de limites dans l'espace et il est infini aussi bien du point de vue du temps que de l'espace. [...]

[...] Donc, les démonstrations métaphysiques sont indécidables. Dans le domaine des mathématiques, les formalistes comme Hilbert ont tenté d'axiomatiser l'ensemble des mathématiques afin de pouvoir tout démontrer. En 1931, le mathématicien et logicien autrichien Kurt Gödel, dans un article intitulé Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés expose ses théorèmes d'incomplétudes dont le premier dit : Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de formaliser l'arithmétique, on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie. [...]

[...] De nombreux philosophes ont essayé de démontrer l'existence de Dieu. Anselme de Cantorbéry, dans le Proslogion, apporte une preuve ontologique de l'existence de Dieu : Nous avons l'idée de l'Être parfait ; la perfection comporte l'existence ; donc l'Être parfait existe Si l'on suit la démarche anselmienne, il apparaît comme absurde de nier l'existence de Dieu, puisque ce serait soutenir une contradiction logique. Plus tard, Descartes va lui aussi émettre une démonstration de l'existence de Dieu par un raisonnement basé sur des axiomes : puisque tout effet a une cause, et que la cause n'a pas moins de réalité que l'effet, il faut que cette idée de l'infini soit causé par un être parfait, donc Dieu existe. [...]

[...] Absurdité de certains raisonnements II. La démonstration est sans fin A. La régression à l'infini B. Dieu C. Comment parvenir à la vérité ? III. Il faut renoncer à tout démontrer A. Métaphysique et démonstration B. Incomplétude de l'axiomatisation C. [...]

[...] Mais pour que ces dernières soient vraies, il faut aussi qu'elles aient été démontrées. On aboutit alors à deux problèmes. D'une part, comme le dit Aristote dans ses Seconds Analytiques, il existe des principes premiers dans les mathématiques indémontrables. On doit alors considérer ces principes comme vrais car évidents mais ils ne sont pas démontrés alors que normalement la démonstration doit servir à montrer leur exactitude. Le présupposé de la démonstration est l'existence de la vérité. On pourrait tout démontrer mais à partir de faits non démontrés. [...]