Que nous permettent de connaître les mathématiques ?

Résumé du document

Pascal, dans ses Pensées, affirme que s'il est illusoire de vouloir prouver l'existence de Dieu, chacun a cependant tout intérêt à parier qu'il existe. Le philosophe s'appuie sur un calcul d'espérance mathématique, et conclut que la probabilité, même faible, de l'existence de Dieu ne suffit pas à rendre le « jeu » défavorable au croyant. Les mathématiques se substituent ainsi aisément à la connaissance, faisant d'une question métaphysique l'objet d'une étude probabiliste ; mais sont-elles incapables de permettre l'accès à la connaissance ? Présentent-elles un objet concret, abstrait ou un savoir-faire à notre connaissance ? Les mathématiques sont utilisées comme un outil dans de nombreuses disciplines comme l'économie par exemple.

Mais les mathématiques ne sont pas un simple outil. Un paradoxe bien connu des mathématiciens permet d'illustrer l'utilité du raisonnement mathématique: sur un plateau télévisé, un candidat est face à trois portes, dont deux cachent une chèvre, et la troisième une voiture. Le candidat choisit une porte, puis le présentateur en soulève une autre, derrière laquelle se trouve une chèvre. Il demande ensuite au candidat s'il souhaite changer son choix pour la porte restante. L'étude mathématique prouve qu'il a en effet intérêt à changer son choix : ayant une probabilité de 1/3 d'avoir choisi la bonne porte dès le départ, et puisque cette probabilité reste identique une fois que le présentateur a soulevé une porte derrière laquelle il sait que se trouve une chèvre, la porte restante aura donc une probabilité de 2/3 de cacher une voiture. Voilà la preuve que les mathématiques permettent d'accéder à des résultats qui défient la logique, et que la raison n'aurait pu obtenir sans un calcul de probabilité. La connaissance mathématique peut porter sur ce qui est incertain: les probabilités ne permettent pas de savoir exactement quel événement va se produire, mais le degré de vraisemblance qu'une chose se réalise. Ce ne sont pas les mathématiques qui permettent de connaître un phénomène physique, mais les sciences naturelles. L'objet des mathématiques est l'idée pure: en géométrie, on découvre des propriétés « du carré » avant de parler d'« un » carré.
Peut-on apprendre d'une discipline qui prouve l'existence de liens entre des objets abstraits, idéaux ? Peut-être peut-on connaître grâce à elle les propriétés de ces objets, peut-être les mathématiques peuvent-elles nous permettre de connaître les choses en soi ?

Extraits

[...] Mais pour des démarches qui défient la raison, telle la comparaison de deux infinités presque similaires, des idées mathématiques sont indispensables. Ainsi, on décide d'étudier la densité des infinis plutôt que leur cardinal (par définition infini) ; on prouve ainsi qu'il y a autant de nombres pairs que d'entiers, mais que si on note א 0 le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et א1 celui de l'ensemble , on peut prouver que א1 = 2^א 0 ; cela revient à comparer la densité des deux ensembles et non leur cardinal, bien entendu, car on ne peut pas considérer que א 0 est un nombre réel. [...]

[...] Nous connaissons seulement les choses telles que nous les présente notre faculté de connaître (les choses pour nous ou phénomènes). Ce n'est qu'à partir de l'expérience que pourra naître la connaissance, qu'à partir de données empiriques qu'elle pourra s'élaborer : on ne connaît pas l'idée de cercle avant d'avoir été mis en présence d'un cercle. Certes, les mathématiques mettent en jeu l'espace (en géométrie), qui est indépendant de l'expérience, qui en est la condition : la prise en compte de la notion d'espace est nécessaire pour décrire un cercle ou même définir le terme de figure géométrique Mais selon Kant, l'idée d'espace n'est pas tant une chose en soi qu'une forme de la sensibilité a priori. [...]

[...] La connaissance mathématique peut porter sur ce qui est incertain : les probabilités ne permettent pas de savoir exactement quel événement va se produire, mais le degré de vraisemblance qu'une chose se réalise. Ce ne sont pas les mathématiques qui permettent de connaître un phénomène physique, mais les sciences naturelles. L'objet des mathématiques est l'idée pure : en géométrie, on découvre des propriétés du carré avant de parler d'« un carré. Peut-on apprendre d'une discipline qui prouve l'existence de liens entre des objets abstraits, idéaux ? [...]

[...] Elle est donc indépendante de la théorie des ensembles. Commencée il y a une trentaine d'années, la recherche porte aujourd'hui sur des axiomes “naturels” à ajouter à la théorie de Zermelo-Fraenkel (axiomes de détermination, axiomes de grands cardinaux, etc.). Les mathématiciens ne cherchent non pas à réfuter ZF, ce qui serait impossible vu que ses axiomes sont extrêmement basiques (par exemple celui qui affirme que deux ensembles possédant les mêmes éléments sont égaux), très ancrés dans le bon sens, mais à la compléter par d'autres axiomes. [...]

[...] Ce nombre est donc car il est intelligible. L'objet des mathématiques est donc la connaissance de choses abstraites, idéales, mais intelligibles, de relations entre plusieurs objets mathématiques. Le raisonnement par l'absurde, qui semble être bâti sur des propositions fausses, se retrouve aussi en philosophie et n'a pour but que de prouver ce qui existe en démontrant que son contraire n'existe pas. L'objet des mathématiques existe donc bel et bien ; il s'agit de notions abstraites, mais réelles. Les mathématiques semblent donc pouvoir permettre de connaître l'intelligible. [...]