Que nous permettent de connaître les mathématiques ? - publié le 12/02/2009

Résumé du document

Pascal, dans ses Pensées, affirme que s'il est illusoire de vouloir prouver l'existence de Dieu, chacun a cependant tout intérêt à parier qu'il existe. Le philosophe s'appuie sur un calcul d'espérance mathématique, et conclut que la probabilité, même faible, de l'existence de Dieu ne suffit pas à rendre le "jeu" défavorable au croyant. Les mathématiques se substituent ainsi aisément à la connaissance, faisant d'une question métaphysique l'objet d'une étude probabiliste ; mais sont-elles incapables de permettre l'accès à la connaissance ? Présentent-elles un objet concret, abstrait ou un savoir-faire à notre connaissance ? Les mathématiques sont utilisées comme un outil dans de nombreuses disciplines comme l'économie par exemple (...)

Sommaire

I) La connaissance des choses en soi peut être considérée comme impossible

A. La nature des choses en soi
B. Conditions de la connaissance

II) Comment les mathématiques peuvent prétendre dévoiler les "noumènes" ?

A. Objets idéaux
B. Objets existants

III) Comment l'existence de cadres d'études mathématiques nuit à la production de cette connaissance ?

A. Présence d'axiomes indémontrables
B. Conditionnant l'exactitude des propositions mathématiques

Extraits

[...] Mais pour des démarches qui défient la raison, telle la comparaison de deux infinités presque similaires, des idées mathématiques sont indispensables. Ainsi, on décide d'étudier la densité des infinis plutôt que leur cardinal (par définition infini) ; on prouve ainsi qu'il y a autant de nombres pairs que d'entiers, mais que si on note א 0 le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et א1 celui de l'ensemble , on peut prouver que א1 = 2^א 0 ; cela revient à comparer la densité des deux ensembles et non leur cardinal, bien entendu, car on ne peut pas considérer que א 0 est un nombre réel. [...]

[...] Que nous permettent de connaître les mathématiques ? Il ne semble pas exister de “paradigme” mathématique, ce qui renforce l'idée selon laquelle les mathématiques permettent d'atteindre la connaissance des relations entre les choses en soi sur lesquelles elles portent, les objets mathématiques. Mais elles reposent en réalité sur des axiomes qui, bien qu'ils n'aient pas été contestés, ont pour seul fondement une “évidence” tout à fait subjective, et peuvent encore être insuffisants pour résoudre certains paradoxes (comme l'hypothèse du continu). [...]

[...] Certes, il existe en mathématiques des domaines d'étude apparemment détachés du monde sensible, mais on prend soin en mathématiques de prouver que ce dont on parle existe. On n'introduit pas de concept mais des notations, des définitions. On calcule par exemple dans l'ensemble des nombres complexes ) car on a réussi à prouver qu'un tel ensemble existe, basé sur le couple avec i vérifiant i.i = -1. Pour cela, on a tout simplement prouvé qu'il existait un objet mathématique ayant pour carré -1. L'expression “nombre imaginaire n'est donc pas vraiment adaptée. [...]

[...] Nous connaissons seulement les choses telles que nous les présente notre faculté de connaître (les choses pour nous ou phénomènes). Ce n'est qu'à partir de l'expérience que pourra naître la connaissance, qu'à partir de données empiriques qu'elle pourra s'élaborer : on ne connaît pas l'idée de cercle avant d'avoir été mis en présence d'un cercle. Certes, les mathématiques mettent en jeu l'espace (en géométrie), qui est indépendant de l'expérience, qui en est la condition : la prise en compte de la notion d'espace est nécessaire pour décrire un cercle ou même définir le terme de figure géométrique Mais selon Kant, l'idée d'espace n'est pas tant une chose en soi qu'une forme de la sensibilité a priori. [...]

[...] Quelle connaissance peuvent fournir les mathématiques et les sciences naturelles ? La pratique des mathématiques donne un savoir-faire (par exemple le savoir-faire du géomètre), mais pas les mathématiques elles-mêmes. La connaissance objectuelle ne peut être donnée par les mathématiques, mais par les sciences naturelles. Connaître, c'est-à-dire comprendre et expliquer c'est avoir la connaissance propositionnelle non seulement d'une affirmation, mais aussi de l'ensemble des causes qui permet de fonder cette connaissance, et des causes de ces causes, jusqu'à en revenir aux axiomes de la théorie mathématique. [...]