Comment concevoir les sciences formelles ?

Thèmes abordés

sciences, formelles, différences, fondements, vérité, mathématiques

Résumé du document

Tout d'abord se pose le problème de l'unité : LA science. On suppose que toutes les sciences ont un trait commun. Une telle affirmation comporte deux dangers : affirmer ou supposer l'absence d'unité, et confondre unité et identité, homogénéité.
Ce trait commun des sciences est fondé par le problème de la vérité. Toutes les sciences produisent des vérités. On peut différencier deux types de sciences :
- Les sciences produisant des vérités purement déductives, les sciences formelles.
- Les sciences produisant des vérités qu'on peut dire « empiriques », les sciences expérimentales.

Quel est le fondement des sciences formelles ?
Quel est l'objet de ces sciences formelles ?

Extraits

[...] Est-on bien sûr de ne pas avoir là à propos de la question du critère du vrai - une question absurde ? Or La question qu'est-ce que la vérité matérielle est bien absurde. Quand on parle de la vérité comme adéquation, l'objet est toujours un objet singularisé. On ne peut pas avoir de vérité matérielle, c'est-à-dire par adéquation, si l'on a pas d'objet singularisé. Ex : la question le livre est-il rouge n'a de sens qu'à la condition que l'on sache de quel livre on parle précisément OR, lorsque je demande un critère universel du vrai, je demande un critère qui vaudrait pour toutes les connaissances et tous les objets. [...]

[...] Il faut attendre le 19ème siècle pour faire des vérités formelles en géométrie. C'est la symbolique mathématique qui permet de mettre hors-jeu la vérité par adéquation pour la vérité formelle. Les mathématiques sont une science formelle telle que les énoncés ont 3 dimensions. : lorsque j'émets un énoncé mathématique, cela suppose les termes signifient quelque chose. Il y aura donc des définitions premières dit Euclide ; les modernes diront : des termes premiers non définissables). Un énoncé mathématique fait référence à un objet. Nous parlions ainsi de l'essence mathématique. [...]

[...] Comment cela est-il possible ? cf. * Galilée, Dialogue concernant les 2 sciences nouvelles Idée de faire correspondre 1 à 1 les nombres entiers qui sont en nombre infini (ensemble et leurs carrés également en nombre infini (ensemble A B etc. etc. On voit donc que tous les éléments de l'ensemble B sont des éléments de l'ensemble mais que des éléments de l'ensemble A ne sont pas éléments de l'ensemble B : ainsi etc. Il semble donc que l'ens. infini A contienne plus d'éléments que l'ens. [...]

[...] le texte Riemann nie aussi un axiome d'Euclide) Au contraire, la géométrie euclidienne est fondée sur une adéquation au sensible. Par ce fait, elle a un statut ambiguë. : elle se développe, à partir de ses axiomes, postulats et définitions, sous la forme d'un système déductif mais même temps elle est objet d'expérience sensible : comme tous les élèves le savent, les déductions peuvent recevoir la confirmation empirique dans l'espace empirique du tableau noir. C'est ainsi que Descartes disait que, dans la mathématique l'entendement qui opère les déductions est aidé par l'imagination, c.a.d par la sensibilité. [...]

[...] Cela permet de retravailler le rapport entre vérité formelle et vérité matérielle. Les mathématiques procèdent par déduction. Par exemple, pour le triangle, seule une déduction permet de prouver l'affirmation la somme des angles d'un triangle est égale à 180° Une déduction a un point de départ, des prémisses, eux-mêmes démontrables par des propositions antérieures, et ainsi remonter de propositions en propositions, de démonstrations en démonstrations. Ainsi travailler en mathématique consiste dans la lutte contre ces propositions indémontrables. Toutefois, l'esprit humain étant fini, limité, il faut poser que la remontée vers une proposition démontrée qui elle-même fonde une proposition démontrée est limitée, finie ; il faut donc bien admettre l'existence de propositions premières. [...]