Qu'est-ce qu'un axiome ?

Thèmes abordés

Axiome, Euclide, raisonnement hypothético-déductif, trilemme d'Agrippa, raisonnement abstrait, inductivisme, déduction logique, métalangage, Platon, René Descartes, Aristote, Nietzsche

Résumé du document

Vers 300 av. J.-C., Euclide écrit les "Éléments", un traité de mathématiques et de géométrie. C'est l'ouvrage le plus ancien connu d'un traitement axiomatique de la géométrie, et son influence sur le développement de la logique occidentale est fondamentale. À partir de définitions admises et d'axiomes, qui sont des affirmations considérées évidentes et qui n'ont donc pas besoin d'être démontrées, des propositions peuvent être déduites. De cette manière, les axiomes sont des sortes de briques élémentaires sur lesquelles repose le raisonnement hypothético-déductif.

Extraits

[...] Un système axiomatique pourrait fonctionner sur ce mode, mais on peinerait à lui trouver un intérêt. La dernière forme de justification est celle de l'arrêt dogmatique. On justifie les propositions jusqu'à un point que l'on ne discutera pas. L'axiome semble alors inévitable. Il peut sembler que ce trilemme s'adresse en particulier au raisonnement abstrait, mais il envisage également ce que l'on pourrait tenir pour vrai par expérience. C'est-à-dire qu'on pourrait justifier de tenir pour vrai le fait qu'un évènement se soit produit en ayant recours à de telles chaînes de justification. [...]

[...] Tous les raisonnements qui prétendent engendrer des propositions qui sont des connaissances découlent d'un moment hypothético-déductif Nécessité des axiomes pour justifier une connaissance Les sceptiques avaient mis au point certains arguments pour convaincre à la suspension du jugement, à l'Épochè. Ces arguments sont connus sous le nom de tropes, et l'un d'entre eux est particulièrement éclairant si l'on cherche à fonder la connaissance sur des bases solides. Le trilemme d'Agrippa indique que toute tentative de fonder la connaissance sur une base solide tombe inévitablement dans l'un des écueils que nous allons présenter. Les chaines de justification ne peuvent prendre que 3 formes différentes. [...]

[...] On peut s'appuyer sur Russel, qui définit les connaissances directes et infaillibles de nos contenus mentaux comme  connaissances par accointance  . Ces connaissances peuvent constituer des axiomes, pour fonder les connaissances. C'est de cette manière que le cogito de Descartes peut se constituer comme axiome. La connaissance infaillible du fait que j'ai un contenu mental, que je pense, fonde mon existence. Sur cet axiome, la raison peut travailler pour déduire des connaissances, alors qu'elle n'était d'aucun secours pour nous fournir celui-ci. [...]

[...] Donc un système d'axiome cohérent ne peut pas être complet. La méthode axiomatique est donc intrinsèquement limitée, il reste toujours des zones d'ombre. Par ailleurs, l'étude de la cohérence d'un système d'axiome est elle aussi fondamentale. Par exemple, la théorie des ensembles développée par Cantor a été la cible du paradoxe de Russel qui consiste dans la réflexion suivante : soit l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Si cet ensemble ne se contient pas, alors il doit se contenir. [...]

[...] L'évidence qui doit permettre de fonder un axiome doit être plus immédiate encore, et relever de l'intuition. Toute connaissance doit prendre pour point de départ l'intuition, en maintenant une prudence à l'égard de ce qui nous apparait immédiatement Si l'on suit Descartes,  le bon sens est la chose du monde la mieux partagée  . On peut l'interpréter comme le fait que les formes d'arguments valides, comme la syllogistique d'Aristote les classe, nous apparaissent de manière évidente. Cela permet de surmonter le paradoxe de Lewis Carroll qui nous obligeait à toujours justifier la validité de l'application des règles. [...]