Cours de philosophie sur la connaissance mathématique

Résumé du document

Elles ne sont pas des sciences expérimentales en ce sens qu'elles n'étudient pas des phénomènes sensibles ni les qualités de ces phénomènes. Ces quantités peuvent être spatiales, s'il s'agit de la géométrie, science de l'espace, ou numériques s'il s'agit de l'algèbre ou de l'arithmétique. Les maths sont des sciences exactes qui peuvent avoir divers objet d'étude. De nos jours, les maths ont vu s'élargir leur objet d'étude avec notamment le calcul des probabilités (...)

Extraits

[...] La géométrie classique énonçait des propositions qui s'appliquaient parfaitement à l'espace visuel et il eut été impensables pour les classiques de concevoir un autre espace que l'espace à trois dimensions.Pour la première fois, des géomètres sont arrivés à concevoir des espaces géométriques nouveaux. BACHELARD : " la géométrie non euclidienne est une géométrie complémentaire, on retrouvera la géométrie euclidienne comme un cas particulier dans un ensemble de géométries." A partir de ces arguments, on peut déduire que la géométrie classique, que l'on tenait pour absolue, immuable, dont les vérités étaient qualifiées d'éternelles devient relative et qu'il est possible de concevoir d'uatres géométries.Dans la géométrie moderne, les axiomes ont un caractère conventionnel et arbitraire.L'esprit mathématique cide librement de se donner, de créer des axiomes nouveaux.Certains géomètres vont adopter des axiomes qui auront du sens dans leur axiomatique mais qui n'auront pas de sens dans une autre géométrie.Les géomètres bont du reconnaitre la relativité de leur axiome. [...]

[...] c ) la théorie rationnaliste Pour ces philosophes, l'expérience est insuffisante pour nous donner des notions abstraites et parfaites, idéales et épurées que l'on retrouve dans les maths.Pour eux, la connaissance mathématiques est rationnelle et non empirique. Pour Descartes, nous possédons déjà, au fond de l'esprit, des notions modèles à partie desquelles nous construisons des notions plus complexes.La notion d'espace est une notion innée.Dieu a crée les vérités mathématiques qui ont un caractèrev éternel.La théorie cartésienne a été appelée la théoriede l'inéïsme.Pour DESCARTES, les idées mathématiques sont le modèle de la calrté et de la distinction KANT constate qu'historiquement les vérités mathématiques n'ont pas été découvertes en s'aidant de l'expérience, les arpenteurs égyptiens s'aidaient de l'expérience pour mesurer des terrains, les géomètres grecs qui ne s'attachaient pas à l'expérience ont réussi à inventer des théories géométriques qui n'existaient pas dans la réalité sensible. [...]

[...] Ppour POINCARRE ;la cohérence d'un axiome est le critère de sa vérité, de sa validité. Le matnématicien se donne un axiome et suppose qu'il est valide.La validité sera vérifiée au fur et à,mesure de la démonstration.Un axiome est valide lorsqu'il permet des enchainements logiques et cohérents. Russel veut dire que les axiomes modernes ne renvoient plus à notre représentation du monde sensible .Leurs vérités ne renvoient plusà la réalité.Les axiomes sont devenus très formels, c'est à dire dépouillés de tout support concret.Les axiomes n'ont pas de vérité matérielle, c'est à dire qui renverrait au réel, ils n'ont qu'une vérité abstraite, formelle. [...]

[...] Les empiristes font de l'esprit un réceptacle passif, ils ne tiennent pas compte de l'activité de l'esprit qui joue un rôle dans la construction des figures. Les maths ne sont plus que des copies calquées sur un modèle : le monde sensible. Les objets qu'étudie le mathématicien n'existent pas dans la réalité car ils ont une perfection, une abstraction que n'auront jamais les objets de l'expérience. Dans la nature, une ligne droiten géométriquement parfaite ne peut pas exister étant donné qu'elle sera toujours représentée imparfaitement avec une certaine épaisseur matérielle. [...]

[...] Poincarré remarquait que les définitions mathématiques sont créatrices de leur objet, il voulait montrer que la définiion du cercle est élaborée par l'esprit seul et elle permet de créer l'existence du cercle qu'elle définit.Il remarquait qu'en biologie une définition n'est jamais créatrice, elle ne permettra pas de créer l'existence de l'objet.En biologie, les définitions sont descriptives et non créatrices. Les défoinitions sont a priori, elles sont élaborées par l'esprit seul, antérieurement à toute expérience, mais les définitons de biologie sont a posteriori, elles s'appuient sur une expérience. Ces définitions ont un caractère parfait, rigoureux. [...]