La Science et l'Hypothèse, chapitre 1, p. 31-32 - Henri Poincaré (1968)

Thèmes abordés

La Science et l'Hypothèse, Henri Poincaré, raisonnement analytique, mathématiques, axiome, tautologie, syllogisme, déduction, Aristote, relativisme, Blaise Pascal, théorèmes, jugements synthétiques, induction, argumentation, intuition

Résumé du document

Henri Poincaré est un mathématicien et philosophe spécialisé dans la science. Sa philosophie est plus conventionnaliste, c'est-à-dire qu'entre deux théories rivales également compatibles avec les données et aboutissant aux mêmes prédictions, il n'y en a pas une plus vraie que l'autre. C'est une notion de pacte. Le seul critère de choix est la commodité et la simplicité du résultat. Pour lui, les lois fondamentales de la science ne sont pas des vérités empiriques, mais des définitions (portent sur l'essence), librement choisies par convention.

Extraits

[...] Cette science représente le seul domaine où la polémique est absente. Pourtant, les bases des mathématiques semblent être ébranlées. À partir du XIXe siècle, certains mathématiciens ont eu l'idée de remplacer un des axiomes d'Euclide :  par un point, on ne peut faire passer qu'une parallèle par rapport à une droite donnée  . Riemann le remplace par :  par un point hors d'une droite, on ne peut faire ne passer aucune parallèle à cette droite  . C'est un nouveau jeu d'axiomes comme principe de base pour démontrer d'autres théorèmes. [...]

[...] Cette science paraît donc nécessaire sous peine de régression infinie selon Pascal. Son caractère indémontrable est justifié par son évidence, c'est un point de départ accepté en raison de sa capacité à permettre un raisonnement logique cohérent. De plus, le classement des mathématiques dans les jugements synthétiques a priori correspond à un jugement où le prédicat n'était pas d'emblée inclus dans le concept du sujet et donc cela apporte une connaissance nouvelle. Le paradoxe est alors le suivant : comment classer les mathématiques alors qu'elles appartiennent à un syllogisme ? [...]

[...] La conception et la définition collent avec les propos de Poincaré sur les Mathématiques. D'où, Poincaré imagine avec complaisance un langage que l'on inventerait pour atteindre toutes les vérités sans se poser le souci, le paradoxe que posent les mathématiques. Au contraire . Ainsi, les mathématiques auraient une vertu de création, c'est-à-dire à l'image d'un jugement synthétique a priori, issu d'une déduction, si on ne prenait pas conscience de ces conséquences. Le philosophe insiste sur le fait que ce principe d'induction est un  usage fréquent  et n'apporte pas de vérité, excluant le fait qu'il puisse exister un phénomène qui contrecarre la règle. [...]

[...] C'est un paradoxe si on reste sur un seul plan de la logique. D'où la vérité ne peut pas être exprimée en termes de démontrabilité. En conclusion, nous voyons bien que les mathématiques ne sont pas à l'abri de l'argumentation et de la polémique, et nous placent dans une grande incertitude. Cela marque la fin de l'universel mathématique auquel la pensée classique avait attaché tant d'importance. [...]

[...] Le terme de  science  peut être discuté, car purement formel. Les mathématiques n'ont pas d'objet extérieur à leur construction. Ainsi, les mathématiques peuvent-elles nous apporter de nouvelles connaissances ? Ou n'est-ce qu'une  immense tautologie  ? Étude du texte Les mathématiques : un syllogisme Les mathématiques sont une science déductive a priori, c'est-à-dire absolument indépendante de l'expérience. Les objets qu'elles manient sont conceptuels : ce sont des produits de la pensée et non de l'expérience. Dans le raisonnement mathématique, toute proposition doit être déduite de propositions antérieures, les prépositions premières étant appelées les prémisses ou axiomes (qui sont indémontrables ou non déductives). [...]