Transformation de Laplace, étude du moteur à courant continu et fonctions de plusieurs variables

Thèmes abordés

Sciences physiques, transformation de Laplace, moteur à courant continu, équation différentielle, électromécanique, équation numérique, fonction mathématique, échelon de Heavyside, boucle de régulation, Laplace, équation

Résumé du document

Ce devoir est un ensemble de 3 exercices corrigés sur différents types d'équations (différentielles, numériques et électromécaniques) et leurs applications pratiques.

Extraits

[...] On a donc . 5. donc donc . donc donc . On obtient alors le système suivant : . Au final , ce qui donne : En notation de Laplace : La première équation donne : . On va décomposer et en éléments simples : On obtient alors le système suivant : . Ce qui donne : . Pour on réutilise le même système (seul le second membre change) : , d'où . En utilisant la transformée de Laplace inverse on obtient finalement le couple de solutions suivant : II. [...]

[...] Étude du moteur à courant continu A. Modélisation 1. On a les conditions initiales nulles, ce qui nous permet de transformer dans le domaine de Laplace les équations suivantes : 2. Les équations et donnent : . Si on injecte les équations et dans l'équation on obtient : d'où : . B. Application numérique 1. On néglige les frottements donc la fonction de transfert devient : de la forme , d'où . Application numérique : . 2. La transformée de Laplace de l'échelon est . La transformée de Laplace de la sortie est donc : . [...]

[...] On a les relations suivantes : On cherche à minimiser les coûts des boîtes donc on va chercher à minimiser la surface extérieure de la boîte dans un premier temps. Pour une hauteur fixée non nulle, on aura donc et le périmètre de la base. Une condition pour minimiser la surface de la base, et la surface des contours (liée au périmètre de la base) est d'avoir . La fonction de coût s'écrit alors en fonction de et par l'expression : , mais comme et sont liés par le volume , on peut alors écrire : . donc . On a donc également : et . [...]

[...] Transformation de Laplace, étude du moteur à courant continu et fonctions de plusieurs variables I. Transformation de Laplace 1. où est l'échelon de Heavyside tel que . et Donc on peut écrire que . La transformée de Laplace de est . Pour avec on a . On peut en déduire par linéarité la transformée de Laplace de : Le signal est une translation de 3 vers la droite du signal . On a donc et sa transformée de Laplace vaut donc Le signal est la superposition de signaux identiques à et retardés de où . [...]