Les Systèmes polyélectroniques - Exercices corrigés

Thèmes abordés

Systèmes polyélectroniques, théorème de Wigner-Eckart, opérateur tensoriel, composant, coefficient, tenseur sphérique, Clebsch-Gordan, équations linéaires homogènes, proportionnalité, indices, atomes, molécule, pyramide trigonale, opération de symétrie, organigramme, orbitale moléculaire, projecteur, représentation, coordonnées de déplacement, déformations angulaires, hydrogène, normalisation

Résumé du document

Ce document comporte trois exercices sur les systèmes polyélectroniques, dont le théorème de Wigner-Eckart.

Extraits

[...] On définit des vecteurs →r ​1,​ →r ​2 et →r ​3 selon les trois liaisons et on observe leur mouvement après l'application des opérations de symétrie. C​3V E 2 C​3​ 3 σ ​v Γ élong Donc Γ ​élong​ = E + A​1​ (dimension 3). De même pour les déformations angulaires, on observe les angles θ ​1,​ θ ​2 et θ ​3 formés par 2 ​ ​ H et l'atome N. Donc Γ ang ​ ​ = E + A​1​ (dimension 3). [...]

[...] ​Forme des orbitales moléculaires des H Méthodes des projecteurs : on écrit toutes les OS. 3OA donc 3 OS à trouver : C​3V E C​3​(z)​(1) C​3​ σ​v ​ σ​v ​ σ​v ​ S​A S​A S​B S​C S​A S​C S​B A​ S​A​ . 𝜒​A1 S​A E 2 S​A​ . 𝜒​E 2S​A 1 S​B 1 S​C S​A -S​B S​C S​B 0 -S​C P A​1​(S​A​) ∝ 2 (S​A​ +S​B​ + S​C​) ∝ (S​A​ +S​B​ + S​C​) P E​1 ​(S​A​) ∝ 2S​A​ - S​B​ - S​C Déterminons le 3ème projecteurs : il est de la forme P E​2 (S​ ​ ​ ∝ aS​A​ +bS​B​ S​C 0 Et puisqu'on doit avoir une base avec 3 projecteurs, cela signifie que : D'où : P E​2 (S​ ​ ​ ∝ S​B​ - S​C d. [...]

[...] Transition dipolaire électrique : a. ​Règle de sélection pour une transition dipolaire : ˆ ​ l vib > 0 Pour qu'il y ait transition dipolaire électrique, il faut que [...]

[...] Réduction de la représentation ​Γ​mouvement = ​0 Pour réduire les représentations réductibles en représentation irréductible on utilise la formule suivante: 1 n Γ​RR ​ = Σ a​k Γ​ ​ RI ​ avec a​k = ​ ∑ × χc (ΓRI × χc (ΓRR c ordre du groupe c : classe de symétrie : multiplicité de la classe X​c:​ caractère du RI ou de RR dans une classe de symétrie c a (A​1)​ = 16 × 1 × 12 + 2 × 1 × 0 + 3 × 1 × = 3 a (A​2)​ = 16 × 1 × 12 + 2 × 1 × 0 + 3 × × = 1 a = 16 × 2 × 12 + 2 × × 0 + 3 × 0 × = 4 D'où Γ ​mouv​ = 3A​1​ + A​2​ + 4E​. On retrouve bien une dimension 12. b. ​Caractères de la représentation correspondant aux translations : Pour la suite, on utilise directement la table de caractères. [...]

[...] H = 2m ​ avec 2m ​l'énergie cinétique et 4πε0r ​l'énergie potentiel Condition de normalisation : ∞ 2π −π Ψ​β​(r) ⇔ ∫ Ψβ(r) ² dV = 1 ⇔ C ² ∫ r² e−2βr dr ∞ V ∫ dφ ∫ sin(θ) dθ = 1 ⇔ C ² 4π ∫ r² e−2βr dr = 1 ⇔ C ² 4π 4β 1 ⇔ C²β3π ⇔C= √ β3 6​.Le laplacien en coordonnées sphérique s'écrit : ∂² + 2r ∂r∂ donc ΔΨβ(r) = ∂r² ħ² e² ħ² ∂² e² ΔΨβ(r) − 4πε0r Ψβ(r) − 2m ( ∂r² (Ce−βr) + 2r ∂r∂ (Ce−βr)) − 4πε0r Ce−βr − 2m −βr β² ħ² ( 2m − Ce − rβħ² + e² 4πε0r ) = e² − Ce−βr( β²2mħ² + 1r (− βħ² m + 4πε0 ħ² Δ + V ​soit H = A + V 7. [...]