Système en T masse-pendule en rotation

Résumé du document

Il s'agit d'un cours sur le système en T masse pendule en rotation.

Description du système (1), Équations du mouvement (2), Détermination des équations par une autre méthode (3), Discutions sur les valeurs de ? (4), simulation (5).

Extraits

[...] Système en T masse-pendule en rotation Description du système Nous allons nous intéresser à une structure en forme de rigide et qui est constituée d'une longue tige perpendiculaire à une autre tige de longueur l. La structure en T tourne dans un plan horizontal à une fréquence constante ω. Une masse m est libre de glisser sans friction le long de la tige et est reliée à l'intersection de la structure en T par un ressort. [...]

[...] Le ressort a une constante de raideur k et une longueur relâchée de l0 = 0. Figure 1 – masse-pendule sur un système en T 1.2 Équations du mouvement Les coordonnées de la masse peuvent être paramétré comme : { x = l cos(ϕ) − r sin(ϕ) y = l sin(ϕ) + r cos(ϕ) On peut donc exprimer les composantes de vitesse comme :  ( )  x˙ = ω − l sin(ϕ) − r cos(ϕ) − r˙ sin(ϕ) ) (   y˙ = ω l cos(ϕ) − r sin(ϕ) + r˙ cos(ϕ) On a donc : v 2 = x˙ 2 + y˙ 2 = ω 2 (l2 + r2 ) + r˙ 2 + 2ωlr˙ L'énergie cinétique du système est : 1 mv kr 2 L'énergie potentielle du système est : 1 Ainsi, le Lagrangien du système masse-pendule est : ) ( 1 L = K − U = mv 2 − kr2 = m ω 2 (l2 + r2 ) + r˙ 2 + 2ωlr˙ − kr En appliquant l'équation lagrangienne en r : d ( ∂L ) ∂L − dt ∂ r˙ ∂r ) mlω + mr˙ − mrω 2 + kr = 0 dt Ce qui donne l'équation du mouvement : =⇒ m¨ r = mω 2 r − kr =⇒ r¨ + m 2 ) − ω2 r = 0 1.2.1 Détermination des équations par une autre méthode Une autre façon serrait d'utiliser une approche newtonienne Nous allons donc procéder en 4 étapes : - Étape 1 : Diagrammes des deux systèmes — La structure masse-ressort — La structure en T 3 - Étape 2 : Deuxième loi de Newton Les équations sont les suivantes : — La structure masse-ressort x m¨ r = F12 + mg cos − kr y 0 = F12 = mg sin x F12 — La structure en T y F12 v2 = mω 2 l l - Étape 3 : Coordonnées de la masse Exprimons cette fois ci les coordonnées sous forme matricielle : ) ( ) ( l x cos(ϕ) − sin(ϕ) = − sin(ϕ) cos(ϕ) r y =⇒ ) ( ) ( x l cos(ϕ) − r sin(ϕ) = y r cos(ϕ) + l sin(ϕ) - Étape 4 : Lien entre les forces Figure 2 – Correspondance de l'angle En égalisant les relations et on obtient : mg sin = mω 2 l =⇒ g = 4 ω2 l sin En injectant l'équation dans : m¨ r = mg cos − kr 2 ω l cos − kr sin r = mω 2 l − kr l =⇒ m¨ r − mω 2 r + kr = 0 =⇒ r¨ + m ) − ω2 r = 0 1.3 Discutions sur les valeurs de ω Nous remarquons que l'équation du mouvement de notre système peut prendre différentes valeurs de ω. [...]

[...] √ √ k • ω> m : la solution devient = Beαt + Ce−αt où α = ω 2 − k m Cette solution fait diverger r(t). La fréquence est telle que le ressort n'est plus capable de fournir une force assez grande pour pousser la masse au centre. Dans ce cas, la force centrifuge dans la structure en T est dominante par rapport à la force du ressort et donc r croît de manière exponentielle. [...]

[...] √ k • ω= m : la solution devient = Dt + E Dans ce cas, la masse évolue linéairement avec le temps, cela est une solution spécial qui fait que l'on tombe sur un double intégrateur. Nous allons observer, à la page suivante, le comportement en Simulation pour différentes valeurs de ω Simulation Le graphique suivant représente le comportement de la trajectoire de la masse m en fonction du temps pour différentes valeurs de ω. On peut voir que lorsque ω croit, le transfert d'énergie entre la partie rotative de la structure en T et le ressort se fait de plus en plus difficilement et cela se traduit par une augmentation de l'amplitude du mouvement de la masse et de la fréquence. [...]