Simulation d'orbites

Thèmes abordés

Simulation d'orbites, méthodes de programmation, méthode de Runge-Kutta, méthode d'Euler, échelle logarithmique

Résumé du document

L'objectif de ce projet est de simuler la trajectoire d'une planète autour de deux corps massifs immobiles.
Pour simuler l'orbite d'un système à trois corps dont deux sont fixes, nous allons négliger l'attraction qu'effectue la planète sur les deux corps massifs, car celle-ci est supposée bien plus légère.
Nous avons placé une des masses à l'origine et l'autre à une distance d selon x de celle-ci.

Extraits

[...] Comme nous pouvons l'observer, la trajectoire n'est pas fermée. Donc pour comparer, nous avons ensuite codé les équations avec la méthode de Runge- Kutta. Nous pouvons observer qu'avec exactement les mêmes conditions de départ, l'orbite avec Runge-Kutta reste fermée. En effet, cette méthode conserve l'énergie totale du système ce qui explique cette observation. Nous voyons bien que la méthode d'Euler est moins précise que la méthode Runge-Kutta. Ensuite, nous avons rajouté la deuxième masse afin de voir si le même phénomène était observé. [...]

[...] Nous avons constaté que la méthode d'Euler était beaucoup moins précise que la méthode de RK. En effet, cette dernière conserve mieux l'énergie du système. Cependant, nous avons tout de même observé quelques variations de l'énergie totale lorsque nous étions proches d'une masse. Un pas de temps adaptatif nous a alors permis de réduire ces variations. Par ailleurs, nous avons pu observer l'influence que pouvaient avoir deux masses non identiques sur la trajectoire de la planète. Bibliographie : http://www.penangol.fr/colle/sup/2_corps.pdf https://msdn.microsoft.com/fr-fr/library/dn528554(v=vs.85).aspx https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_%C3%A0_deux_corps http://astronomie.coursgratuits.net/mecanique-celeste/trajectoires-d- orbitales-kepleriennes.php Cours de mécanique de L1, L2 et de méthodes numériques. [...]

[...] Cette dernière étant moins précise que celle de Runge-Kutta, la modélisation de la trajectoire est alors beaucoup moins ressemblante de la réalité. En effet, nous pouvons observer qu'avec Runge-Kutta, la trajectoire est beaucoup plus nette, et précise. Mais les effets de non-conservation, lorsque la planète passe proche des masses, sont aussi visibles pour Runge-Kutta. Comme nous venons de l'observer, la méthode de Runge-Kutta fonctionne mieux pour réaliser la modélisation. Cependant, nous avons vu que l'énergie était difficilement conservée à proximité d'une masse. [...]

[...] Or on peut exprimer r en fonction de x et de y. Nous avons donc obtenu les équations : Pour pouvoir coder ces équations, nous avons introduit deux nouvelles variables : Nous allons donc maintenant réécrire les équations : I. Objectifs : Nos objectifs étaient dans un premier temps de coder le programme, puis de le tester avec une seule masse pour le débugger une première fois, voir les avantages et inconvénients de chaque méthode. Enfin, nous avons refait fonctionner le programme plusieurs fois afin de chercher des trajectoires intéressantes et de pousser les méthodes dans leurs limites. [...]

[...] Pour cela, nous avons commencé par éloigner les deux masses. Celle-ci nous a paru intéressante, car la première masse en n'est pas assez proche pour complètement attirer la planète dans son champ de gravité, mais suffisamment pour déformer la trajectoire de celle-ci. Jusqu'à présent, nos deux masses avaient un poids égal. Nous avons alors essayer de changer le poids de la deuxième en le mettant deux fois plus faible (M1 = M2/2). Nous observons alors que l'influence de la deuxième masse a fortement diminué. [...]