Problème corrigé mécanique du point

Résumé du document

Il s'agit d'un problème mécanique du point MPSI-PCSI-PTSI-BCPST, théorème de l'énergie cinétique, PFD, coordonnées polaires. La correction est entièrement détaillée.

Extraits

[...] Pour h [...]

[...] On note g l'intensité du champ de pesanteur. Exprimer en fonction de g et  la norme VM de la vitesse du point M lorsqu'il est à l'intérieur du demi-cercle. En tenant compte uniquement de la condition sur la vitesse déterminer hmin pour que le mobile atteigne le point le plus haut du demi-cercle (. Donner l'expression de la réaction du support au un point M repéré par l'angle du cercle. Déterminer les limites h1 et h2 telles que : si h [...]

[...] Pour ce cas, la réaction normale s'annule avant la vitesse et on vérifiera que ceci aura lieu pour PI2=1-ha ⟹ h>=h1 cosθR=231-ha ⟹ 1-ha≤-32 ⟹ 52≤ha ⟹h >=52a=h2 Pour h>h2=52a , il n'existe plus d'angle pour lequel ni la réaction normale, ni la vitesse ne s'annulent. Ainsi, M ne quittera jamais la gouttière et effectuera des tours complets. On peut s'aider d'un graphique pour mieux comprendre. Il suffit de tracer hVa ethRa en fonction de l'angle θ où hVa ethRa correspondent aux hauteurs h annulant respectivement la vitesse. [...]

[...] Pour déterminer hmin, on considère le cas où la vitesse s'annule en ce point c-à-d θ=PI. ⟹ VM=0= 2 ghmin-a1-cosPI ⟹hmin=2a Considérons maintenant que le point matériel M se déplace dans le guide circulaire. On peut le repérer alors par ses coordonnées polaires (voir figure). Appliquons le P.F.D au point M et le projetons sur la base polaire : mγ=Fext=mg+RN mr-rθ2=mgcosθ-RNm2rθ+rθ=-mgsinθ Or r=a=cste donc r=0 et r=0 ⟹-maθ2=mgcosθ-RN (1)maθ=-mgsinθ ⟹RN=mgcosθ+maθ2=mg cosθ+aθ2 RN=mgcosθ+VM2a= RN=m3gcosθ+2gah-a REMARQUE : Pourquoi intéressons-nous à la réaction normale du support ? [...]