Ondes sphériques monochromatiques

Thèmes abordés

Ondes, électromagnétisme, ondes sphériques, équation de d'Alembert, équation de Maxwell-Faraday, vecteur de Poynting, Pythagore

Résumé du document

Ce devoir de niveau licence contient 6 exercices corrigés portant sur le thème de l'électromagnétisme et des ondes sphériques.

Extraits

[...] Ondes sphériques monochromatiques Exercice 1 Montrons que fr,t=1rg(r+-ct) vérifie l'équation de d'Alembert. En coordonnées sphériques, fr,t=1rd2dr2(rfr,t) L'équation de d'Alembert devient : fr,t-1c2d2fdt2=0 1rd2dr2rfr,t-1c2d2fdt2=0 d2dr2rfr,t-1c2d2(rf)dt2=0 En posant gr+-ct=rfr,t, on sait que g est solution de l'équation précédente. Donc, les ondes de la forme fr,t=1rg(r+-ct) vérifient l'équation de d'Alembert. Exercice 2 Er;t=Arcos(kr-ωt)uθ cos(kr-ωt)uθ est sans dimension, donc Ar a la même dimension que Er;t. Ainsi, Ar est en V.m-1 et comme r est en A s'exprime en volts de symbole V. En coordonnées sphériques, k=k⋅ur , donc l'onde se propage selon ur. [...]

[...] Dans l'expression du champ électrique, r>0 , donc l'onde est divergente. Exercice 3 Calculons le champ B : On passe en notation complexe. L'équation de Maxwell-Faraday donne : dBdt=-rot E qui devient jωB=jk∧E B B Alors Br;t=kArωcos(kr-ωt)uφE E k k Exercice 4 On sait que le vecteur de Poynting est donné par : 1μ0(E∧B) Avec Er;t=Arcos(kr-ωt)uθ et Br;t=kArωcos(kr-ωt)uφ , il vient : kA2ωμ0r2cos2kr-ωtur Et le flux à travers une surface centrée sur l'origine vaut : ?=Π.dS sur une sphère de rayon S=4PIr2 donc ?=4PIkA2ωμ0cos2(kr-ωt) On sait que cos2(x)=1/2 sur une période. [...]