La mécanique du point

Thèmes abordés

physique, mécanique du point, exercices, énergie d'une force, chariot pendule, dynamique, vecteur

Résumé du document

Ce document comprend deux exercices de physique sur la mécanique du point.

Extraits

[...] Avec l'expression de la force en fonction de x et y on obtient : δW=-2xy2+2y3dx+-2x2y+6xy2dy Pour un déplacement du point au point B=2,2 on se déplace le long de la droite y=x. Donc δW=-2xx2+2x3dx+-2x2x+6xx2dx=4x3dx WAB=ABδW=-124x3dx =4x44-12=24--14=16-1. Donc WAB=15. La force F se décompose en une force Fxx,y=-2xy2+2y3 et Fyx,y=-2x2y+6xy2. La forme différentielle δW=Fxx,ydx+Fyx,ydy est une différentielle totale. Le travail WAB=ABδW ne dépend alors que des positions initiales et finales, et non du chemin parcouru (pas de dépendance du temps en particulier). La force F est donc conservative. [...]

[...] Chariot-Pendule Mise en équation Vecteur accélération Position du point G dans le repère R0: OG=xex⇒G:x,0 Position du point A dans le repère R0: OA=OG+GA=xex+(lsinθex+lcosθez)⇒A:x+lsinθ,lcosθ. Vitesses : vG=dOGdt=xex vA=dOAdt=x+lθcosθex-lθsinθez Accélérations : aG=dvGdt=xex aA=dvAdt=x-lθ2sinθ+lθcosθex-lθ2cosθ+lθsinθez Forces Le chariot est soumis aux forces suivantes : Le poids Pchariot=Mg=Mgez La réaction du support Rsupport=-Rez dirigée vers le haut et compensant le poids La force exercée par le ressort : Fressort=-kxex La tension de la barre appliquée au chariot : Tchariot dirigée dans la direction de GA Le pendule est soumis aux forces suivantes : Le poids Ppendule=mg=mgez La tension de la barre appliquée au pendule : Tpendule dirigée dans la direction de AG Note : Tchariot=-Tpendule. [...]

[...] (l'énergie mécanique se conserve bien comme attendu) Etude des petits mouvements En faisant une approximation au premier ordre, on va remplacer sinθ≈θ,cosθ≈1, θ2≈0, θ2≈0 dans le système d'équations : M+mx+mlθcosθ-mlθ2sinθ+kx=0xcosθ+lθ+gsinθ=0-->M+mx+mlθ+kx=0x+lθ+gθ=0 On pose θt=θMcosωt et xt=XMcosωt. On injecte ces solutions dans : θt=θMcosωt⇒θt=-ωθMsinωt⇒θt=-ω2θMcosωt xt=XMcosωt⇒xt=-ωXMsinωt⇒xt=-ω2XMcosωt M+m-ω2XMcosωt+ml-ω2θMcosωt+kXMcosωt=0-ω2XMcosωt+l-ω2θMcosωt+gθMcosωt=0 ⇒-ω2XMM+m-ω2θMml+kXM=0-ω2XM+-ω2θMl+gθM=0⇒k-M+mω2XM-mlω2θM=0-ω2XM+g-lω2θM=0 La deuxième équation de donne : -ω2XM+g-lω2θM=0⇒ω2XM=g-lω2θM, d'où : XM=g-lω2ω2θM. On injecte l'expression de la question 3 dans la première équation du système : k-M+mω2g-lω2ω2θM-mlω2θM=0⇒θMk-M+mω2g-lω2ω2-mlω2=0 Donc pour avoir une solution non nulle θM!=0 on doit avoir : k-M+mω2g-lω2ω2-mlω2=0 On pose X=ω2, cela nous donne : k-M+mXg-lXX-mlX=0, donc : k-M+mXg-lX-mlX2=0⇒kg-M+mg+klX+M+mlX2-mlX2=0 Donc : MlX2-M+mg+klX+kg=0. Discriminant : Δ=b2-4ac=M+mg+kl2-4Mlkg=M+m2g2+2M+mlkg+k2l2-4Mlkg=M+m2g2+2M+mlkg+k2l2-4Mlkg-4mlkg+4mlkg=M+m2g2-2M+mlkg+k2l2+4mlkg=M+mg-kl2+4mlkg donc Δ=M+mg-kl2+4mlkg>0. Les solutions sont X1=-b-Δ2a et X2=-b+Δ2a. [...]

[...] Le poids appliqué au pendule est conservatif donc on peut écrire Ppendule=-gradEPpendule Donc : mg=-dEPpenduledz?EPpendule=-mgz+Cste=-mglcosθ+Cste L'énergie potentielle du pendule prend son origine en θ=0 donc -mgl+Cste=0. D'où EPpendule=mgl1-cosθ. L'énergie potentielle totale est EPx,θ=EPressort+EPpendule, Donc : EPx,θ=12kx2+ mgl1-cosθ. L'énergie cinétique du dispositif est la somme des énergies cinétiques du chariot et du pendule : Ekx,θ,θ=Ekchariot+Ekpendule=12MvG2+12mvA2 Avec vG2=vG⋅vG=xex⋅xex=x2 et vA2=vA⋅vA=x+lθcosθex-lθsinθez⋅x+lθcosθex-lθsinθez=x+lθcosθ2+lθsinθ2=x2+2lxθcosθ+lθcosθ2+lθsinθ2=x2+2lxθcosθ+l2θ2 Donc Ekx,θ,θ=12Mx2+12mx2+2lxθcosθ+l2θ2 d'où : Ekx,θ,θ=12M+mx2+mlxθcosθ+12ml2θ2. L'énergie mécanique est la somme des énergies potentielles et cinétiques, donc : Em=EPx,θ+Ekx,θ,θ D'où : Em=12kx2+ mgl1-cosθ+12M+mx2+mlxθcosθ+12ml2θ2. [...]