Mécanique des milieux continus et des fluides

Thèmes abordés

Mécanique des fluides, milieu continu, élasticité linéaire, loi d'équilibre, vecteur, loi de Hooke, équation, force de pression

Résumé du document

"Pour calculer les forces de volume, on veut appliquer la loi d'équilibre local qui relie la divergence du tenseur des contraintes au vecteurs des forces de volume."
...
"Comme la pression de l'air en dessous du véhicule est plus faible que la pression au-dessus du véhicule, la surpression au-dessus du véhicule va créer une force de pression dirigée vers le bas. Cela aura pour effet de ralentir cette voiture de sport."

Extraits

[...] Il y a conservation du débit d'air entre ces deux sections. En notant l la largeur du véhicule, cela s'écrit : V0al=VMbl ⟹VM=V0ab Comme on en déduit que VM>V0 : l'air s'écoule plus vite en M qu'à l'infini amont. Question 2 : Le point M étant situé au milieu de sa section, la ligne de courant provenant de l'infini amont et passant par M est horizontale. La pression à l'infini amont étant P0, on peut appliquer la relation de Bernoulli sur cette ligne de courant : P0+ρgzM+ρV0²2=PM+ρgzM+ρVM²2 ce qui donne : PM=P0+ρV02-VM²2=P0+ρV0²21-a²b² Là encore, comme le rapport a²b² est inférieur à 1 et on a donc une pression PM, en dessous du véhicule, inférieure à P0, la pression au-dessus du véhicule. [...]

[...] Ces deux constantes sont en outre nécessairement égales. On peut donc poser c=c1=c2 et finalement, la contrainte de cisaillement s'écrit : σxy=-2axy-by22+c Exercice 3 Question 1 : Le but ici est de relier les composantes du tenseur des déformations : ε=εxxεxyεxyεyy aux déformations longitudinales ε1, ε2 et ε3 respectivement dans les directions que l'on notera n1, n2 et n3. Dans le cas général le vecteur déformation dans une direction n s'obtient par l'opération : Dn=ε⋅n On peut le décomposer en une composante de déformation longitudinale ε et une composante de déformation transverse g de la façon suivante : Dn=εn+gt avec t le vecteur unitaire tel que l'angle entre n et t mesure PI2 dans le sens direct. [...]

[...] On peut décomposer cette intégrale en deux sous intégrales Fz=I1+I2 avec : I1=θ=-PI2θ=PI2PatmLRcosθdθ=PatmLRsinθθ=-PI2θ=PI2=2PatmLR et : I2=θ=-PI2θ=PI2ρegLR²cos²θdθ=ρegLR²θ=-PI2θ=PI21+cos2θ2dθ=ρegLR²PI2+sin2θ4θ=-PI2θ=PI2 car cos²θ=1+cos2θ2. On en déduit : I2=PIρegLR²2 et finalement : Fz=I1+I2=2PatmLR+PIρegLR²2 Question 6 : On remarque que la surface d'eau exposée à la pression atmosphérique est S=2LR et que le volume d'eau contenu dans le canal est V=12xPIR2xL=PILR²2. La résultante verticale des forces de pression s'écrit donc : Fz=PatmS+ρegV On peut l'interpréter physiquement comme étant la pression de l'air appliquée sur la surface du canal à laquelle on ajoute la pression du volume d'eau contenu dans le canal. [...]

[...] Cela aura pour effet de ralentir cette voiture de sport. Sujet 2 Exercice 1 Question 1 : La répartition des contraintes normales exercées par l'eau sur la paroi du canal est schématiquement la suivante : Ces contraintes sont d'autant plus importantes que la hauteur d'eau au-dessus de la paroi du canal est élevée. Question 2 : La pression au point M exercée par l'eau sur un élément de surface dS de la paroi est simplement donnée par la formule : PM=Patm+ρegz où z=Rcosθ est la profondeur du point M. [...]

[...] Le tenseur des contraintes s'écrit ainsi : σ=2μA-Br2+2λA0002μA+Br2+2λA0002λA Question 2 : Les conditions limite doivent s'appliquer aux bords extérieurs du solide. Ici, le cylindre en a deux : un bord intérieur et un bord extérieur. Sur le bord intérieur, la pression du pétrole Pi s'applique de manière radiale dans le sens des rayons croissants. Comme le vecteur normal à ce bord est cela s'écrit avec le vecteur contrainte : Cr=Ri, -er=Pi er Sur le bord extérieur, la pression de l'eau Pe s'applique de manière radiale dans le sens des rayons décroissants. [...]