Formalisme de Lagrange en dynamique

Thèmes abordés

Mécanique, formalisme de Lagrange, équations de Lagrange, théorème de l'énergie cinétique, énergie cinétique, linéarisation d'une équation, stabilité d'une équation, formule de Taylor-Young, équation différentielle

Résumé du document

Le document est un devoir sur le thème de la mécanique, et plus particulièrement sur le formalisme de Lagrange en dynamique. Il est composé de 3 parties : l'étude des équations de Lagrange, la mise en pratique du théorème de l'énergie cinétique et la linéarisation des équations.

Extraits

[...] V(P|R0)=-aψ cos?u donc V2=(aψ cos?)2 T(SR0)=12P∈S(aψ cos?)2mdθ2PI= m4PI(aψ )2P∈S(cos?)2dθ=m(aψ )2PI4PI=m(aψ )24 Calculons maintenant l'énergie cinétique du point T(PR1)=12P∈S[V(P∈R2|R1)]2dm V(P∈R2|R1)= aθz donc V2=(aθ)2 T (PR1)=12P∈S(aθ)2mdθ2PI=m(aθ)22 Finalement, T=m(aψ )24+m(aθ)22 Le système est soumis au poids qui dérive d'une énergie potentielle. P=-mgz0 EpP=-mgz0.dl + Cte avec dl un élément de longueur du cerceau. En prenant la référence de cette énergie potentielle dans le plan x0, il vient : EpP=-mgz0.a.w EpP=mga.sin? Le système est aussi soumis à la force d'inertie d'entraînement : Fie=mψ2HP avec H le projeté orthogonal de P sur (Oz0) Epe=-Fie.dl +Cte = -m.ψ2HP.dOP+Cte=-mψ2HP.dOH+HP+Cte Epe=-m. [...]

[...] dLdθ=-mga.cosθ-mψ2a2.sinθ.cosθ dLdψ=0 dLdθ=ma2θ et ddtdLdθ=ma2θ dLdψ=12ma2ψ-ma2sin2θψ et ddtdLdψ=12ma2ψ-ma2sin2θψ-2θma2ψθsinθ.cosθ On obtient ainsi deux équations : Eθ ma2θ+mga.cosθ+mψ2a2.sinθ.cosθ=0 Eθ a.θ+g.cosθ+ψ2a.sinθ.cosθ=0 Eψ 12ma2ψ-ma2sin2θψ-2θma2ψθsinθ.cosθ=0 Eψ 12ψ-sin2θψ-2θψθsinθ.cosθ=0 On note R=Xu+Yv la réaction de contact du cerceau sur le point matériel P. On applique le Principe Fondamental de la Dynamique : m. ΓPR0=R Alors on obtient le système d'équations : m.2aψθsinθ-aψcosθ-aθsinθcosθ=X-maθ2=Y Partie 2 : Théorème de l'énergie cinétique Comme le moteur agit sur le mouvement de rotation selon z0 est contraint, il n'y a donc qu'un degré de liberté : la rotation d'angle θ. [...]

[...] Partie 3 : Linéarisation et stabilité Eθ a.θ+g.cosθ+ω2a.sinθ.cosθ=0 Eθ a.θ+aω2cosθ(gaω2+sinθ)=0 A l'équilibre, on a V=0 donc θ=0 Ainsi, l'équation Eθ devient cosθ(gaω2+sinθ)=0 Les solutions de cette équation sont cosθ=0 qui implique θ1=PI2 ou θ2=-PI2 Ou gaω2+sinθ=0 c'est-à-dire θ3=arcsin?(-gaω2) et θ3=PI-arcsin?(-gaω2) D'après la formule de Taylor-Young, cosa+h=cosa+cos'a.h+oh avec h?1 Alors cosθ0+ε≈cos?(θ0)-sinθ0.ε Et sinθ0+ε≈sinθ0+sin'θ0.ε soit sinθ0+ε≈sinθ0+cosθ0.ε Alors cosθ0+ε.sinθ0+ε≈cosθ0-sinθ0.ε.(sinθ0+cosθ0.ε) cosθ0+ε.sinθ0+ε≈cosθ0.(sinθ0+εcos2θ0-εsin2(θ0)+ε2cosθ0.sin(θ0 Or, ε2≅0 donc cosθ0+ε.sinθ0+ε≈cosθ0.(sinθ0+εcos2(θ0-εsin2(θ0) Or, cos2a-sin2a=cos?(2a) Donc cosθ0+ε.sinθ0+ε≈cosθ0.(sinθ0+εcos(2θ0 Eθ a.θ+g.cosθ+ω2a.sinθ.cosθ=0 Eθ a.(θ0+ε)+g.(cos?(θ0+ε)+ω2a.sin?(θ0+ε).cos?(θ0+ε)=0 a.θ0+aε+g.(cos?(θ0)-sinθ0.ε)+ω2a.cosθ0.(sinθ0+εcos(2θ0)=0 Or θ=0 et cos donc l'équation précédente devient : aε-g.sinθ0.ε+ω2a.εcos(2θ0)=0 Soit ε-ga.sinθ0.ε+ω2.εcos(2θ0)=0 ε-(ga.sinθ0-ω2.cos2θ0)ε=0 Ou encore ε+(ω2.cos2θ0-ga.sinθ0)ε=0 On utilise le rappel selon lequel les solutions de l'équation différentielle y''x+μy'x=0 Sont stables si μ>0 et instables si μ<0 Les solutions sont donc instables si ω2.cos2θ0-ga.sinθ0<0 cos2θ0

[...] Formalisme de Lagrange en dynamique Partie 1 : Équations de Lagrange Le système possède deux degrés de liberté : une rotation d'angle ? et une rotation d'angle ?. ΩSR0=ψz0 avec z0=cos?z + sin ?w alors ΩSR0=ψ sin ?w cos?z ΩR2R0=ΩR2R1+ΩR1R0 = θu+ψsin?w+ψcos? z ΩR2R0=θu+ψsin?w+ψcos? z V(P∈R1|R0)=ΩR1R0∧OP=(ψ sin ?w cos?z)∧(a.w) V(P∈R1|R0)=--aψ cos?u Et V(P∈R2|R1)= dOPdt=d(aw)dt=aθz Finalement, VP∈R2|R0=VP∈R2|R1+VP∈R1|R0=-a.ψ cos?u+ aθz VP∈R2|R0=-aψ cos?u+ aθz Calcul de l'accélération : ΓPR0 . D'après la loi de composition des accélérations : ΓPR0= ΓPR1+ ΓP∈R1R0+2ΩR1R0∧V(P|R1) ΓPR1=dV(P|R1) dt=d(aθz)dt=aθz+aθ?z?t=aθz-aθ2w Soit H le projeté orthogonal de point coïncidant sur z0). [...]