Exercice physique : stabilité d'un équilibre et approche énergétique

Résumé du document

Problème mécanique du point - étude de la stabilité d'un équilibre - système mass-ressort dans un guide circulaire - correction détaillée

Extraits

[...] DEVOIR A LA MAISON Stabilité d'un équilibre Soit un référentiel galiléen Rg de repère (O,ex,ey,ez). Une perle quasi ponctuelle de masse M est astreinte à se déplacer sans frottements le long d'un demi-cercle de rayon a. Le point P est attaché à un ressort l0) dont l'autre extrémité est fixée en = a). le point P est repéré par l'angle = (Ox,OP). Exprimer O'P en fonction de a et  dans la base polaire. En déduire l'expression du module O'P. [...]

[...] Comment s'exprime la vitesse de P dans Rg dans la base polaire ? On note F la résultante des forces exercées sur P. Donner l'expression de la puissance de cette résultante dans Rg en fonction de  et θ. En déduire l'énergie potentielle Ep (à une constante près) dont dérive la résultante. On suppose les relations suivantes entre les paramètres : a =2Mg/k et l0=3(a-Mgk) . Quelles sont les positions d'équilibre 1 et 2 pour  positif ? Étudier la stabilité des équilibres obtenus. [...]

[...] 1.a) O'P=O'O+OP=a ex+a er=a1+cosθer-asinθeθ =2a cos2θ2er-sinθ2cosθ2eθ O'P=2acos4θ2+sin2θ2cos2θ2=2 a cosθ2 1.b) T=-kO'P-l0 u où u=O'PO'P T=k(l0-2acosθ2) cosθ2er-sinθ2eθ 2.a) vP=aθeθ 2.b) Bilan des forces : P et RN F=P+T+RN (On n'est pas obligé de tenir compte de RN vue que c'est une force qui ne travaille pas) PF=F.vPPF=Fθ xaθ où Fθ projection deF sur eθ PF=-mgaθsinθ-aθsinθ2kl0-2acosθ2 Or, PFxdt=dWF=-dEp ⇒PF=-dEpdt Epθ=-mgacosθ-2a k l0cosθ2+k a2cosθ+cste 3.a) Les positions d'équilibre sont données par dEpdθ=0 dEpdθ=mgasinθ+a k l0sinθ2-ka2sinθdEpdθ=a sinθ22mgcosθ2+k l0-2kacosθ2=0 soit sinθ2=0 ou 2cosθ2mg-ka=-k l0 θ1=0 et cosθ22=k l02(ka-mg) Or a=2mgk et l0=3mgk donc cosθ22=32 ⇒θ2=PI3 Conclusion : θ1=0 et θ2=PI3 3.b) Pour étudier la stabilité des équilibres, il faut regarder le signe de d2Epd2θ pour et  d2Epd2θ=mgacosθ+12akl0cosθ2-ka2cosθ Pour θ1=0 ⇒d2Epd2θ=mga+12akl0-ka2=2(mg)2k+3(mg)2k-4(mg)2k =2+3-4mg2k0 Donc, θ2=PI3, correspond à un équilibre stable 3.c) Autour d'une position d'équilibre , on peut écrire l'énergie potentielle pour une valeur de proche de Epθ=Epθ0+12d2Epd2θθ0xθ-θ02 L'énergie cinétique s'écrit : Ecθ=12maθ2 L'énergie mécanique s'écrit : Emθ=Ecθ+Epθ=cste car système conservatif Ainsi, dEmdt=0 nous donne l'équationdu mouvement. ma2θθ+d2Epd2θθ0xθ-θ0xθ=0 ma2θ+d2Epd2θθ0xθ-θ0=0 On pose θ=θ0+ϵ avec ϵ≪1 donc θ=ϵ On obtient ainsi une équation différentielle du second ordre en ϵ. d2Epd2θθ0ma2xϵ=0 Si d2Epd2θθ0>0 alors la solution est sinusoïdale ce qui correspond bien à une position d'équilibre stable. Si d2Epd2θθ0 [...]