Étude d'un système chaotique : le pendule magnétique

Thèmes abordés

Chaos, magnétisme, pendule magnétique, PFD Principe Fondamental de la Dynamique, algorithme, Python, force attractive

Résumé du document

L'objectif de ce TIPE est de comprendre les critères qui font d'un système un système chaotique.
Le système étudié est un pendule magnétique constitué d'une bille métallique suspendue par un fil au-dessus de trois aimants formant un triangle équilatéral. On suppose que le référentiel étudié est galiléen, ce qui nous permet d'appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD).

Extraits

[...] Autres définitions : Espace de phase : c'est la représentation de plusieurs variables du temps dans un espace de dimension supérieure. Cette représentation permet de distinguer les systèmes chaotiques de ceux qui ne le sont pas : en effet, un système non chaotique sera représenté par une courbe fermée alors qu'un système chaotique sera représenté par un ensemble de points à première vue placés au hasard. Position d'équilibre stable : position pour laquelle la vitesse en nulle. Si on décale un point matériel de sa position d'équilibre stable, il y est ramené. [...]

[...] - bassin d'attraction : c'est l'ensemble des conditions initiales qui convergent vers un équilibre stable. Étude du pendule magnétique Données et hypothèses Le système étudié est un pendule magnétique constitué d'une bille métallique suspendue par un fil au-dessus de trois aimants formant un triangle équilatéral. Paramètres du système - O : point fixe - M : point matériel (bille) de masse m (on considérera une masse unitaire) - A1, A2, A3 : trois aimants fixes de puissance 𝛼 - r : distance OM = constante) - d : hauteur de la bille par rapport au plan des aimants - a : distance entre deux aimants Afin de simplifier le système, on fait l'hypothèse que r » d. [...]

[...] Étude d'un système chaotique : le pendule magnétique L'objectif de ce TIPE est de comprendre les critères qui font d'un système un système chaotique. Qu'est-ce que le chaos ? Découverte du chaos Certains systèmes ont un comportement que les scientifiques ne parviennent pas à déterminer car il semble qu'il soit seulement dû au hasard. La théorie du chaos fut pour la première fois mise en avant vers la fin du XIXe siècle par le mathématicien Henri Poincaré. En 1960, le météorologue Edward Lorenz s'intéresse pour la première fois à ce phénomène. [...]

[...] Cette équation équivaut à un système de deux équations différentielles scalaires d'ordre 1 : x = ∝k = 13xk-xxk-x2+ yk-y x - C xy = ∝k = 13yk-yxk-x2+ yk-y y - C y Étude énergétique Puisqu'il y a dissipation d'énergie due aux forces de frottements fluides, l'énergie mécanique n'est pas conservée. A l'état initial, on a Einit= Ecinit+ Epinit = 0 + Epinit Donc Einit= Epinit A l'état final, on a Efin= Ecfin+ Epfin= 0 + 0 Donc Efin= 0 On a donc ∆E= Efin- Einit = Epinit Donc Epinit On en déduit que l'énergie mécanique est décroissante. Ainsi, la dissipation de l'énergie due aux frottements fluides entraîne que la bille va finir par s'arrêter. [...]

[...] Bibliographie Livres : - De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, de Claude GIGNOUX et Bernard SILVESTRE-BRAC (2002) - La théorie du chaos, de James GLEICK (2008) Sites internet : - Wikipédia : l'encyclopédie libre, Théorie du chaos, [en ligne]. Adresse URL : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_du_chaos - Free : La théorie du chaos [en ligne]. Adresse URL : http://just.loic.free.fr/ - Free : FAQ Python documentation, Graphique et Les animations, [en ligne]. [...]