Électromagnétisme et électrocinétique

Thèmes abordés

Circuit électrique, éléctromagnétisme, électrocinétique, circuit en régime sinusoïdal, induction électromagnétique, circuit en régime continu, tension électrique, spectre électromagnétique

Résumé du document

Ce document est un ensemble d'exercices sur le thème de l'induction électromagnétique et des bases d'électrocinétique, ainsi que sur le fonctionnement de circuits en régime sinusoïdal.

Extraits

[...] En divisant par jω on obtient : Hjω=RR+Ljω+1Cjω. On divise ensuite par cela donne : Hjω=11+LRjω+1RCjω=11+jωRL-1RCω⇒ Hjω=11+jQωω0-ω0ω avec : Qω0=LRQω0=1RC⇒Q2=LR1RC=LR2Cω0=1QRC⇒Q=1RLCω0=1LC. Gω=Hjω=Hjω2=HjωHjω=11+jQωω0-ω0ω11-jQωω0-ω0ω donc : Gω=11+Q2ωω0-ω0ω2. Q2ωω0-ω0ω2>=0 pour toute valeur de ω donc 1+Q2ωω0-ω0ω2>=1 et 1+Q2ωω0-ω0ω2>=1 donc finalement Gω<=1. Gω a donc une valeur maximale Gmax=1 atteinte lorsque ωω0-ω0ω=0, i.e. ω=ω0. Au voisinage de ω=0 on a ωω0-ω0ω~-ω0ω donc Q2ωω0-ω0ω2~Q2ω02ω2, puis 1+Q2ωω0-ω0ω2~Qω0ω et enfin Gω~ωQω0 donc Gω-->0=0. Au voisinage de l'infini, on a ωω0-ω0ω~ωω0 donc Q2ωω0-ω0ω2~Q2ω2ω02, puis 1+Q2ωω0-ω0ω2~Qωω0 et enfin Gω~ω0Qω donc Gω-->+infinity=0. [...]

[...] En série avec la résistance en haut à droite, cela donne Req2=R+Req1=3R2. Les deux résistances sur la branche du milieu ont une résistance équivalente Req3=R+R=2R. Cette dernière est en parallèle avec Req2 donc 1Req4=1Req2+1Req3⇒Req4=Req2Req3Req2+Req3 D'où Req4=3R22R3R2+2R=3R27R2=67R. Finalement cette résistance équivalente Req4 est en série avec la résistance en haut à gauche, d'où : Req,tot=R+Req4, et donc : Req,tot=137R. 3.3 Études de circuits en régime continu Cas : D'après les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm on a tout d'abord Ug=UAB+UBM avec UAB=RI et UBM=RI donc UAB=UBM et Ug=2UBM d'où : UBMUg=12. [...]

[...] Les solutions de l'équation différentielle du premier ordre sont de la forme : UCt=Ke-tτ+Ug avec K une constante. La condition initiale donne UC0=0=K+Ug d'où K=-Ug. On a donc la solution UCt=Ug1-e-tτ. Circuits en régime sinusoïdal 4.1 Filtre RC Étude théorique En appliquant les lois électriques dans le circuit de la figure 12, on peut écrire que : uet=uRt+uSt=Rit+uSt, avec it=Cdusdt d'où uet=RCdusdt+us(t). En notation complexe, cela donne :ue=RCjωus+us=1+jRCωus. On peut donc écrire : us=11+jRCωue . On écrit Hjω=usue=11+jRCω d'après la question 1. [...]

[...] Les relations et sont linéaires. En effet, si on multiplie le champ magnétique par un facteur a alors les dérivées successives dBdt et d2Bdt2 sont aussi multipliées par a. De même, le flux Φ=nPIr2cosθB est proportionnel à donc lui et ses dérivées dΦdt et d2Φdt2 seront aussi multipliés par a. On remarque (après développement des formules), que ce sont toutes les expressions ayant en facteur l'amplitude d'intensité I0. Les autres formules, ayant en facteur I02 ne sont pas linéaires. Pour toutes les relations linéaires la fréquence ν de et est égale à la fréquence ν0 de l'intensité appliquée It. [...]

[...] Hjω2=HjωHjω où Hjω désigne le conjugué de Hjω. Donc Hjω2=11+jωωc11-jωωc=11+ωωc2. D'où Gω=Hjω=Hjω2, i.e. Gω=11+ωωc2. Gωc=12, Gω-->+infinity=0. La courbe précédente montre l'allure de Gω en prenant ωc=1 pour simplifier. C'est un filtre passe-bas car il laisse passer les basses fréquences mais atténue les hautes. ?ω=argHjω=arg11+jωωc=-arg1+jωωc=-arctanωωc. D'où tan?ω=-ωωc. ?ωc=-PI4, ?ω-->+infinity=-PI2. La courbe précédente montre l'allure de ?ω en prenant ωc=1 pour simplifier. 4.2 Circuit RLC en série Étude théorique En appliquant les lois électriques dans le circuit de la figure 15 on peut écrire que : uet=uCt+uLt+ust, avec uLt=Ldidt, it=CduCdt et ust=Rit d'où duedt=duCdt+duLdt+dusdt=1Cit+Ld2idt2+Rdidt. [...]