Compte rendu de travaux pratiques en traitement numérique du signal

Thèmes abordés

Mathématiques, signal sinusoïdal, échantillonage, école d'ingénieurs, critère de Shannon-Nyquist, fonction, fréquence, graphique, travaux-pratiques, traitement du signal

Résumé du document

Le document présente des exercices en traitement numérique du signal.
Exemple : "Écrire le signal échantillonné x_e(t),t ? 0, en fonction de x. Écrire le signal discret correspondant, noté x_k, obtenu pour t = kT_e.
Tracer x_k (utiliser stem) sur une durée de 100 ms pour des fréquences d'échantillonnage suivantes.
Préciser pour chaque valeur de f_e si la condition de Shannon-Nyquist est vérifiée."

Extraits

[...] V.8)Calculer numériquement l'ordre optimal en utilisant la fonction buttord. Dans l'aide en ligne, Rp désigne le gain en dB de la partie passante du filtre, Rs désigne le gain en dB de la partie non-passante. fc (fréquence de coupure) désigne un bord de l'intervalle sur lequel le module de la réponse fréquentielle a un gain supérieur à Rp ; fa (fréquence d'atténuation) désigne une extrémité de l'intervalle sur lequel le module de la réponse fréquentielle a un gain inférieur à Rs load signalbase.mat; fe=1000; fc=100; fa=200; Nw = 100; N = length(x); t=(0:N−1)/fe; b = sqrt(0.5) * randn(1,N); w=window(@triang,Nw+1); Wa = 2*fa/fe; Wc = 2*fc/fe; Rp=3; Rs=15; = buttord(Wc,Wa,Rp,Rs); disp(L'ordre du filtre de Butterworth est : disp(n); Cela nous donne la réponse suivante : V.9)Appliquer le filtre au signal y et comparer les résultats obtenus en changeant l'ordre du filtre Wa = 2*fa/fe; Wc = 2*fc/fe; Rp=3; Rs=15; = buttord(Wc,Wa,Rp,Rs); = butter(n,w); z = filter(b,a,y); plot(t,z) hold on plot(t,x) xlabel(Temps (en ylabel(Amplitude) title(Signauw filtré et original en fonction du temps avec un ordre de filtre de legend(Signal filtré,Signal original) 45 Nous observons le même phénomène qu'avec la fenêtre de pondération, c'est-à-dire que plus l'ordre du filtre de Butterworth augmente plus le retard s'accroît entre les signaux original et filtré Filtre coupe-bande V.10)On considère le signal : y où b est un bruit blanc centré de variance et x le signal signalbase.mat perturbé par la sinusoïde. [...]

[...] Représenter la dsp de sk en fréquences centrées en Hertz (échelle semi-logarithmique) load signalbase.mat; fe = 25; t = 0:1/fe:10; N=length(t); f=(0:N−1)*(fe/N); f(f>fe/2)=f(f>fe/2)−fe; f=fftshift(f); X=fftshift(abs(fft(x).^2/N)); semilogy(f(1:250),X) III.2)Calculer par la formule d'interpolation de Shannon (que vous tronquerez en justifiant votre approximation) la valeur du signal s à l'instant t = 1,3 s à partir des valeurs de sk . Montrez que cela vaut approximativement = load signalbase.mat; fe=25; N = length(x); t=1.3; n=0:N−1; Sha = sum(x.*(sinc(fe*(t−n/fe)))); disp(Sha); Avec le programme ci-dessus, nous obtenons le résultat qui suit : s(1.3) = 3.5202. III.3)Quelle est la fréquence maximale observable dans sk lorsque fe = 25 Hz ? Selon le critère de Nyquist, la fréquence maximale doit être de fe > 2f0,max . Ainsi, la fréquence maximale est de 12.5Hz, étant donné de la fréquence d'échantillonage est fixée à 25Hz. [...]

[...] xk est un signal carré, en appliquant une DSP nous devons trouver un pic à chaque harmonique impaire. Ainsi, la valeur de la DSP correspondant à la valeur nulle est donc 0. I.11) Quelle est la fréquence du second terme de la dsp en fonction de fe ? La fréquence du second terme est à kfe + f0 où k = 0. I.12) Quelle est la fréquence du dernier terme de la dsp en fonction de fe ? La fréquence du dernier terme est à kfe + 3f0 où k = 0. [...]

[...] Ainsi, on peut en déduire que cette différence est provoqué par le bruit. II.3)Écrire le lien entre la densité spectrale d'énergie d'un signal yk et sa fonction d'autocorrélation, lorsque ce signal est temps discret et non-périodique et nul en dehors des instants k = 0 à k = N 1. La relation qui relie la densité spectrale de puissance d'un signal xyk et sa fonction d'autocorrélation est T F D{Cy ) = Yˆ ) 2 II.4)Démontrer la question II.3. La démonstration est la même qu'à la question II.6). [...]

[...] Ainsi, nous devons réécrire le signal carrée comme une somme de fonction sinusoïdale. C'est pourquoi que dans la transformée de Fourier de ce signal va faire apparaître plusieurs pics qui correspondent à la fréquence fondamentale d'une fonction sinusoïde Signal et bruit blanc I.14) Tracer la dsp de yk . Expliquer le résultat f0=50; phi=pi/2; fe=500; t=0:1/fe:0.04; x=a*sin(2*pi*f0*t+phi); N=length(t); f=(0:N−1)*(fe/N); f(f>fe/2)=f(f>fe/2)−fe; f=fftshift(f); b = sqrt(0.3)*randn(1,N); y = x + Y=fftshift(abs(fft(y).^2/N)); figure(1) plot(t,y); xlabel(temps (en ylabel(Signal bruité); title(Signal bruité en fonction du temps); figure(2) plot(f,Y); xlabel(fréquence (en ylabel(Amplitude); title(Transformée de Fourier du signal bruité); Cela nous permet d'obtenir les graphiques suivants : 9 On peut clairement voir que le signal bruité adopte la forme du signal non bruité mais avec des variations, dont l'origine est le bruit ou la variable b dans notre programme. [...]