Application d'une force non continue sur un système masse-ressort

Thèmes abordés

Physique quantique, système masse-ressort, équation différentielle, deuxième loi de Newton, principe fondamental de la dynamique, logiciel DESMOS

Résumé du document

Le document est un devoir de physique quantique composé de 3 exercices corrigés sur la résolution d'équations différentielles liées aux systèmes masse-ressort.

Extraits

[...] Application d'une force non continue sur un système masse-ressort Question 1 La deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique nous dit que : ?? Le système masse-ressort avec amortissement étant longitudinale dans l'espace, on se ramène à l'équation : Les forces extérieures appliquées à la masse sont : La tension du ressort : −?? La force de frottements : Une force externe : ce qui donne : = ?(?). Avec ? = 1kg, ? = 1kg/s, ? = 4.25N/m, on obtient = ?(?). ? ? ? Question 2 Donnez la solution complète de chaque équation différentielle. Indiquez clairement les conditions initiales pour chaque intervalle de temps. Résolution de l'équation sans second membre pour : Résolution de l'équation avec second membre pour : Soit ??(?) = ?1 cos(5?) +?2 sin(5?) une solution particulière de l'équation avec second membre. [...]

[...] Lien vers DESMOS : [HYPERLINK: https://www.desmos.com/calculator/p6tkfyf1iq]https://www.desmos.com/calculator/p6tkfyf1iq [HYPERLINK: https://www.desmos.com/calculator/p6tkfyf1iq] Question 4 Décrivez le mouvement dans chaque intervalle de temps. En particulier, indiquez à quel type de mouvement correspond votre résultat lorsque le temps est grand. Justifiez bien votre réponse. Sur (courbe rouge) : On voit sur la courbe rouge un mouvement d'oscillation avec amortissement. La période des oscillations est ?0 = ? secondes, ce qui correspond à une pulsation ?0 = 2 rad/s. [...]

[...] Pour les temps élevés, on observe que le mouvement se ramène à une oscillation harmonique pure de période ?1 = ? secondes. En effet, si ? , alors , donc en reprenant l'équation on se ramène à une oscillation harmonique pure de période En développant on obtient : , ce qui amène au système : (J'ai utilisé ici le fait que cos(.)2 +sin(.)2 = 1 et que tan(.) = ) On obtient alors l'équation du mouvement suivante : ? ( ? ) = 40 7289 cos ( 5 ? + arctan ( 20 83 ) ) On a ainsi caractérisé la phase du mouvement ainsi que son amplitude . [...]

[...] ? ? = 0 = ?1?−2 + ?1 = ?2 En dérivant l'expression de ? on obtient : On obtient donc la solution complète pour Question 3 Faites un graphique dans DESMOS de la solution entre 0 et 5PI sec. La courbe correspondant à chaque intervalle de temps doit avoir une couleur différente. Légende : - En rouge : courbe pour 0 ? < correspondant à l'équation - En bleu : courbe pour ? correspondant à l'équation On voit bien sur le graphique que la position ? est bien la même en ? = ?. On voit aussi que les deux courbes sont tangentes en ? = ce qui montre la continuité des vitesses ??. [...]