Aérodynamique: l'écoulement incompressible stationnaire en fluide parfait

Résumé du document

On a pu voir que si l'irrotationnalité de l'écoulement est démontrée, deux techniques existaient pour le calcul des écoulements dans ce régime. Cet exercice va montrer que les deux peuvent être harmonieusement mélangées.
On cherche à calculer l'écoulement sur la configuration célèbre appelée "marche descendante".

Extraits

[...] En déduire les expressions du coefficient de pression, selon que l'on se trouve sur OA ou AX. Pour calculer la distribution de pression sur la marche descendante, on peut utiliser la relation de Bernoulli, en faisant intervenir dans un premier temps le coefficient de pression : 2 = ∞ 1 2 2 En exprimant cette formule avec la vitesse (), on obtient : = ∞ 2 2 + ∞ + − ′ avec = − − Remarque : la partie réelle X est toujours prise positive, car l'on réécrit = . [...]

[...] Pour le compte rendu, on pourra donner les lignes de courant après la question 4). Les points d'arrêt sont les points en lesquels la vitesse de l'écoulement est nulle. On sait déjà, d'après la question que l'origine = 0 est un point d'arrêt, pour conserver une vitesse finie. Au point d'affixe = , la vitesse est clairement nulle. C'est un deuxième point d'arrêt. [...]

[...] Sur on reprend l'expression vue dans la première question : = 0 = − + ℎ 0 = − + ℎ ℎ ℎ ℎ 2 + 1 Ce qui donne, après division par ℎ des deux côtés de l'égalité et simplifications : 2 = ℎ + 1 + ln + 3/8 Sur on procède de la même façon : 2 = ℎ arcsin Sur le principe reste le même 2 = ℎ 1 + ln + 2. Potentiel et champ de vitesse Donner le potentiel et champ de vitesses de l'écoulement le plus simple, dans le plan qui satisfait les conditions aux limites. [...]

[...] Cela donne, après simplification : sin 2 + sin sin cos tan 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 cos = 0 Après résolution sur un logiciel de calcul numérique (Maple), on obtient les caractéristiques de positionnement du tourbillon : = arctan 3 7 2.1 Autres solutions Quels reproches adresseriez-vous à la solution trouvée au Quelles autres solutions voyez-vous au problème précédent? L'expression de la vitesse à la question nous apprend que la vitesse est infinie lorsque l'on se place au point , centre du tourbillon. Pour résoudre ce problème, on pourrait considérer une ligne de glissement prolongeant la ligne horizontale du haut de la marche. Ceci créerait une zone, entre le bas de la marche et cette ligne, non alimentée par les lignes de courant provenant de l'infini. [...]

[...] Quelle autre singularité faut-il introduire pour que la paroi = 0 soit ligne de courant? Donner son intensité et sa position, et en déduire une 1ère expression du champ des vitesses sur la marche descendante paramétré en fonction de Si l'on rajoute un tourbillon en = − d'intensité Γ , le nouveau potentiel obtenu devient : = + Γ Γ ln ln( ) 2 2 4/8 = Γ ln 2 2 + 2 2 cos + Γ ln 2 2 + 2 2 D'où, en = = 0. [...]