Pavage de Penrose et Quasi - Cristaux

Résumé du document

En 1982, le monde de la cristallographie a été bouleversé par la découverte de Dany Shechtman. A l'époque, les cristaux étaient connus, et leurs symétries étaient maîtrisées. Cependant en 1982, Dany observa un cliché de diffraction de symétrie pentagonale.
Cette découverte créa une polémique, on voulut les faire passer pour des cristaux qui imiteraient des symétries interdites... Cependant, les quasi-cristaux étaient bien une réalité. On doit cette découverte à quatre chercheurs (Schechtman, Blech, Cahn, Gratias).
La modélisation de ces quasis cristaux apporta de nombreux problèmes aux cristallographes. En effet un quasi-cristal possède une symétrie de rotation d'ordre 5 (comme celui du pentagone). On dit qu'il possède des symétries d'orientation et pas de symétries de translation. En réalité ces symétries d'orientation ne sont pas compatibles avec la définition de l'ordre dit cristallographique. Ils exhibent des facettes de croissance, comme pour les cristaux, mais de forme pentagonal et n'appartient pas au réseau de Bravais.
La modélisation 2D pour un cristal simple, est assez aisée. Un pavage possède deux propriétés essentielles : une symétrie de rotation (appelée aussi d'orientation) – une de translation. Ces constructions géométriques s'appellent des pavages et les objets élémentaires qui les composent sont des pavés.
Pour effectuer un pavage, la géométrie semble être d'importance capitale. Qu'en est-il alors pour les pavés pentagonaux d'un quasi-cristal ?
Ceci est impossible. En effet le pavage doit respecter deux conditions : les pavés ne doivent ni se chevaucher ni laisser entre eux des trous. De plus, pour corser le problème du pavage, une troisième condition a été imposée : il ne faut utilisé qu'un nombre limité de formes élémentaires.
Cependant en 1974, Roger Penrose a réussi à réaliser un pavage apériodique dans lequel la symétrie d'ordre 5 était globalement conservée. C'est le fameux pavage de Penrose. Il est constitué de deux pavés élémentaires qui s'accolent entre eux par des règles précises, de telle sorte que l'ensemble soit apériodique (pas de symétrie de translation) mais qui exhibe la symétrie de rotation du pentagone.

Extraits

[...] Le découpage des deux pentagones moyens crée une forme de bateau de papier 5 Figure 8 : 6 Figure 9 : En haut, les deux pavages (cerf-volant et flèche) En bas, à droite un pavage autorisé, à gauche un pavage interdit 7 Figure 10 : Pavage de Penrose avec cerfs-volants et fléchettes 7 Figure 11 : pavage à partir de losange 8 Figure 12 : Règle d'assemblage 8 Figure 13 : Exemple de pavage apériodique par losanges 9 Introduction En 1982, le monde de la cristallographie a été bouleversé par la découverte de Dany Shechtman. A l'époque, les cristaux étaient connus, et leurs symétries étaient maîtrisées. Cependant en 1982, Dany observa un cliché de diffraction de symétrie pentagonale. Figure 1 : Diffraction de symétrie d'ordre 5 Cette découverte créa une polémique, on voulut les faire passer pour des cristaux qui imiteraient des symétries interdites . Cependant, les quasi-cristaux étaient bien une réalité. On doit cette découverte à quatre chercheurs (Schechtman, Blech, Cahn, Gratias). [...]

[...] Ce découpage engendre cinq triangles qui bouchent les trous entre les petits pentagones. Figure 7 : Découpage du grand pentagone en six pentagones fois plus petit. Le découpage des deux pentagones moyens crée une forme de bateau de papier En regardant la figure nous pouvons aisément imaginer que le pavage de pentagones peut s'effectuer de la sorte Autrement dit, le pavage peut s'effectuer en accolant des pentagones séparés par un triangle d'or. Si nous recommençons l'opération de découpage dans chacun des petits pentagones, on obtient une nouvelle figure. [...]

[...] Le pentagone central ainsi obtenu est fois plus petit que le précédent = τ + 1 = ( + = 2.618 034). τ étant le fameux nombre d'or. Figure 4 : Découpage d'un pentagone. Le petit pentagone central est fois plus petit que le pentagone initial. Découpe en deux types de triangle d'or Une autre découpe est possible. A partir du pentagone, un triangle d'or de type aigu et deux de types obtus peuvent être découpés (Fig. 6). Qu'est-ce qu'un triangle d'or ? [...]

[...] Cependant en 1970, Roger Penrose, continua de découper les pentagones de la figure 7. C'est ainsi qu'il constata qu'en continuant cette opération, seulement quatre motifs se répétaient : les pentagones, les losanges, les bateaux et les étoiles. Les trous triangulaires peuvent donc être comblés par ces nouvelles formes. La figure 8 montre comment le petit losange de gauche, entouré par quatre pentagones, peut être découpé à nouveau (à droite) en un pentagone, un bateau et une étoile d'une manière compatible avec le redécoupage des autres pentagones de gauche. [...]

[...] Pavage avec des losanges Sous certaines conditions, il est également possible de paver le plan à l'aide de deux figures géométriques simples comme les deux losanges ci- dessous : il faut les assembler en respectant la couleur et le sens des vecteurs. Figure 11 : pavage à partir de losange Cette contrainte assure que le pavage obtenu ne sera pas périodique. Il existe une infinité de pavages du plan non périodique à l'aide de ces deux pièces. On utilise la méthode de construction suivante : il suffit de découper chaque gros losange en un losange moins gros, deux demi-losanges fins et deux demi-losanges gros, et chaque losange fin en deux demi- losanges fins et deux demi-losanges gros. [...]