Travaux pratiques encadrés : La liane et le déplacement de Tarzan (annexes)

Thèmes abordés

Travaux pratiques encadrés, La liane et le déplacement de Tarzan, annexes, mouvement de Tarzan, effort exercé par Tarzan sur la liane, résistance des lianes à la traction

Résumé du document

On assimile Tarzan à un solide ponctuel T de masse m. Son mouvement consiste en un mouvement de balancier, qui décrit un arc de cercle autour de point I, accroche de la liane toujours tendue.
On se place dans le référentiel terrestre (du fait de la brièveté du saut de Tarzan, il se comporte comme un repère galiléen) en prenant une altitude z=0 au point O le plus bas de la trajectoire de Tarzan et une abscisse x=0 au point A, point de départ de Tarzan.
On néglige les frottements de l'air dont l'effet n'est pas très important pour un tel mobile.
Par conséquent, le système {Tarzan ; liane} n'échange pas d'énergie avec l'extérieur.

Extraits

[...] On se place dans ce triangle. Par trigonométrie, on Selon le même principe, on exprime zA en fonction de l'angle σA (angle à la position initiale de tarzan, au départ). On trouve : 4. Remplacement de zT et zA dans la formule de la vitesse On remplace dans l'expression de la vitesse de Tarzan les altitudes par leurs expressions en fonction des angles σ et σa trouvées. vt : vitesse de Tarzan en m.s-1 va : vitesse initiale de Tarzan en m.s-1 L : Longueur de la liane en m σ : angle orienté formé par la liane par rapport à la verticale en rad σa : angle initial en rad g : gravité terrestre en N.Kg-1 (environ 9,8 N.Kg-1) 5. [...]

[...] Cos σ 2. Cos σa) est croissant car g est positif (va)2 + g. (3. Cos σ 2. Cos σa) est croissant car va et L sont constants m. + g. (3. Cos σ 2. [...]

[...] On néglige les frottements de l'air dont l'effet n'est pas très important pour un tel mobile. Par conséquent, le système {Tarzan ; liane} n'échange pas d'énergie avec l'extérieur Calcul de la vitesse de Tarzan en fonction de son altitude: On cherche à connaître la vitesse VT de tarzan à un point d'altitude zT en se servant de la position d'origine A. Dans le référentiel terrestre, on étudie le pendule {tarzan ; liane} en interaction avec la terre. Comme on ne tient pas compte des frottements, alors ce système n'échange pas d'énergie avec l'extérieur. [...]

[...] Afin de les étudier plus facilement, on les décompose en fonction de T (tension) et . La composante de en fonction de est nulle car est dirigée vers le point d'attache de la liane, tout comme , et est donc perpendiculaire à . Par contre, comme v est parallèle à l'axe , alors sa composante selon cet axe sera égale à T. - 12 - P (poids) Les angles et σ sont des angles correspondants car est parallèle à la verticale. [...]

[...] Cos σa) est décroissant car va et L sont constants m. + g. (3. Cos σ 2. Cos σa)) est décroissant car m est positif Donc la tension est croissante pour σ Donc la tension est décroissante pour σ π/2] Par conséquent, le maximum est atteint pour σ=0. Donc : - 15 - Liste des notations utilisées Liste des points : Point : Signification : T (ou M pour le Tarzan calcul de la tension) A Point de départ de Tarzan I Attache de la liane, centre de la trajectoire de Tarzan S Point où Tarzan lâche la liane/ saute O Point le plus bas de la trajectoire, à la verticale de O O' Point placée à l'intersection de la verticale de A et de l'horizontale de O Repère (O',x,z) Repère dont l'origine est placée à l'intersection de la verticale du départ de tarzan et de l'horizontale du point le plus bas de la trajectoire de la liane Repère mobile (dit de Frenet) suivant Tarzan Repère Liste des grandeurs: Désignatio za L x zt ou z xs zs σ σa g m Signification : Altitude du point de départ de Tarzan (par rapport à Longueur de la liane (=rayon de courbure de la trajectoire) Position horizontale de Tarzan par rapport à Altitude de tarzan, position par rapport à Position de Tarzan par rapport à (horizontal) lorsqu'il a lâché la liane/ sauté Position de Tarzan par rapport à (vertical) lorsqu'il a lâché la liane/ sauté Angle orienté formé par la liane par rapport à la verticale Angle initial orienté Accélération de la pesanteur (environ 9,80665 m.s-2) Masse de Tarzan Poids de Tarzan ( ) Tension appliquée sur la liane Frottements de l'air (ignorés) Energie potentielle de position Energie cinétique Vitesse de Tarzan Vecteur vitesse Composante horizontale de la vitesse de Tarzan Composante verticale de la vitesse de Tarzan Composante horizontale de la vitesse de Tarzan lorsqu'il a lâché la liane Composante verticale de la vitesse de Tarzan lorsqu'il a lâché la liane Accélération de Tarzan Composante horizontale de l'accélération de Tarzan Composante verticale de l'accélération de Tarzan Temps après que Tarzan ai lâché la liane - 16 Unité : mètres mètres mètres mètres mètres mètres Radian (orienté) Radian (orienté) m.s-2 Kg Newton Newton Joules Joules m.s-1 m.s-1 m.s-1 m.s-1 m.s-1 m.s-2 m.s-2 m.s-2 secondes Epp Ec v ou vt Vx Vz Vxs Vzs ax az t Annexe 4 : Code source du simulateur Le code ci-dessous correspond exactement à celui utilisé par le simulateur, excepté pour certains détails affectant la sécurité du programme. [...]