Les comètes : comment déterminer leur orbite et leur période ?

Résumé du document

Présentation finale de TPE abordant le thème des comètes. En prenant comme exemple la Comète de Halley, le TPE propose deux méthodes qui permettent de déterminer l'orbite et la période d'une comète, lorsqu'on connaît sa position intiale et sa vitesse. La première méthode, basée sur le théorème du centre d'inertie, est établie à partir d'une résolution graphique et de l'intégration numérique d'un algorithme de calcul. La seconde méthode s'appuie sur la deuxième loi de Kepler et propose un modèle mathématique permettant de déterminer une équation cartésienne de l'orbite elliptique d'une comète et de calculer sa période. On montre finalement que ce modèle peut être programmé pour être utilisé avec n'importe quelle comète.

Extraits

[...] Deuxième méthode de calcul Cette seconde méthode de calcul se base sur une relation issue de la deuxième loi de Kepler : Énergie de la comète de Halley Calcul du Demi-grand axe Calculs de l'excentricité et du demi-petit axe Calcul de l' excentricité e Or donc Détermination de la période Il existe différents moyens de calculer la période d'une comète: Grâce à la troisième loi de Kepler = a3 x constante Grâce à une relation issue de la troisième loi de Kepler : = a3 En divisant la surface parcourue par la vitesse associée à cette surface : aire de l'ellipse / vitesse aréolaire D'après la deuxième loi de Kepler les surfaces balayées par le rayon vecteur pendant des durées égales sont égales la vitesse aréolaire est constante. [...]

[...] On peut donc appliquer le théorème du centre d'inertie D'où avec donc dans le repère on a Intégration numérique Période de la comète de Halley A partir du graphique, on mesure le grand axe et on obtient ainsi le demi-grand axe : m. On calcul donc la période grâce à la 3èm loi de Kepler : On a T2/a3=42/GMs d'où T2=42/GMs a3 2.1030 * -11 T2= T=2480852788s T=78,6 ans La période trouvée est très proche de la période réelle qui est de 76 ans. [...]

[...] Les Comètes : comment déterminer leur orbite et leur période ? RENNESSON Laëtitia Terminale 6 BRETON Jean-Christophe Terminale 4 A propos de la comète de Halley Masse du Soleil : Ms = 2.00 x1030 kg Constante de gravitation universelle: G = 6.67 x10-11 S.I. Position du périhélie de la comète de Halley : r0 = 0.58716 ua Vitesse de la comète de Halley à son périhélie : v = 5.455 x104 m.s-1 Énergie spécifique de la comète de Halley : E' = - ( G*Ms ) / ( 2 a ) , avec a le demi-grand axe de l'ellipse Caractéristiques d'une ellipse Demi-grand axe a Demi-petit axe b Distance au foyer r Distance foyer-centre de l'ellipse c = a r0 Excentricité de l'ellipse rapport de la valeur c sur la valeur a D'après la première loi de Kepler, le Soleil est un des foyers de l'orbite elliptique de la comète de Halley . [...]

[...] Position du périhélie de la comète de Halley : r0 = 0.58716 ua Vitesse de la comète de Halley à son périhélie : v = 5.455 x104 m.s-1 Énergie spécifique de la comète de Halley : E' = - ( G*Ms ) / ( 2 a ) , avec a le demi-grand axe de l'ellipse Caractéristiques d'une ellipse Demi-grand axe a Demi-petit axe b Distance au foyer r Distance foyer-centre de l'ellipse c = a r0 Excentricité de l'ellipse rapport de la valeur c sur la valeur a D'après la première loi de Kepler, le Soleil est un des foyers de l'orbite elliptique de la comète de Halley . Conditions initiales On considère qu'au moment initial la comète se trouve à son périhélie, on a donc les conditions initiales suivantes dans le repère dont l'origine est le centre du soleil. [...]

[...] De plus la vitesse aréolaire a pour valeur : Calcul de la période La période de la comète de Halley vaut donc : T = 76 années Utilisation d'un programme sur calculatrice Casio GRAPH 65 Utilisation d'un programme sur calculatrice Casio GRAPH 65 La comète de Halley Les valeurs réelles de l'orbite : Valeur du demi-grand axe : a = 2,69x1012 m Valeur du demi-petit axe : b = 6,85x1011 m Valeur de l'excentricité : e = 0,967 Période en années : T = 76,0288 ans Terres lointaines Les Comètes : comment déterminer leur orbite et leur période ? [...]