Ondes dans un milieu dispersif ou absorbant

Thèmes abordés

physique, propagation d'ondes, milieu dispersif, milieu absorbant, onde réelle, onde plane, paquet d'ondes, superposition d'ondes

Résumé du document

On reprend le modèle de la corde établi précédemment, et on lui ajoute un frottement fluide...
Les termes de l'équation différentielle de premier ordre sont des termes d'absorption, et les termes d'ordre 0 sont des termes de dispersion...
Une onde réelle a un début et une fin : elle a donc une extension spatiale finie...

Extraits

[...] On aura ainsi 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠0 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−(𝑘 −𝑖𝑘 )𝑥) = 𝑠0 𝑒 −𝑘 𝑥 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘 𝑥) Vitesse de phase 𝑣 𝜑 (𝜔) = 𝜔 𝑘 (𝜔) caractérise la vitesse du terme de phase. Il dépend de 𝜔 dans un milieu dispersif. Atténuation 𝑒 −𝑘 (𝜔)𝑥 = 𝑒 −𝑥/𝛿 , 𝛿= 1 𝑘 (𝜔) 𝛿 est l'épaisseur de peau (distance caractéristique d'amortissement). Si 𝑘 2 [...]

[...] L'égalité n'est plus vérifiée pour un milieu absorbant ou dispersif. Dans le cas général, 𝑣 𝜑 = 𝜔 𝑘 et 𝑣 𝑔 = 𝑑𝜔 . 𝑑𝑘 Paquet d'onde Un paquet d'onde est modélisé par 𝑠(𝑥, 𝑡) = 0 𝐴(𝜔)𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘(𝜔)𝑥) 𝑑𝜔. 𝐴(𝜔) est le spectre en pulsation de l'onde. Interprétation La vitesse de propagation de l'information (vitesse de communication entre émetteur et récepteur) est la vitesse de groupe 𝑣 𝑔 . B.S. [...]

[...] 𝜑 𝜑 𝑠(𝑥, 𝑡) = 2𝑠0 cos (𝜔0 𝑡 𝑘0 𝑥 + ) cos (𝛿𝜔𝑡 𝛿𝑘𝑥 + ) Si le milieu est dispersif, alors 𝑑𝑘 𝑑𝜔 𝑘 𝜔, donc les deux termes, que nous identifierons comme l'onde et son enveloppe, ne se propagent pas à la même vitesse. L'onde moyenne, de pulsation 𝜔0 se propage à 𝑣 𝜑 = 𝜔0 𝑘0 : la vitesse de phase. L'enveloppe se propage à une vitesse différente, appelée vitesse de groupe : 𝑣 𝑔 = ( 𝑑𝜔 ) 𝑑𝑘 𝜔0 = 1 ( 𝑑𝑘 ) 𝑑𝜔 𝜔 Dans le cas d'un milieu non dispersif, 𝑣 𝑔 = 𝑣 𝜑 . [...]