Mouvement dans un potentiel newtonien

Résumé du document

Mouvement dans un potentiel newtonien, fiche de physique de 9 pages



Soit F le foyer de la conique et (delta) une directrice.

On note e > 0 l'excentricité avec

MF

e

MK

= .

- Si e > 1 alors on a une hyperbole.

- Si e = 1 alors on a une parabole.

- Si e < 1 alors on a une ellipse.





I) Rappels mathématiques : propriétés des coniques

II) Equation de la trajectoire dans un potentiel newtonien

III) Mouvement des planètes et des satellites

Extraits

[...] Mouvement dans un potentiel newtonien Rappels mathématiques : propriétés des coniques Définition Soit F le foyer de la conique et ( ) une directrice. On note e > 0 l'excentricité avec e = - Si e > 1 alors on a une hyperbole. - Si e = 1 alors on a une parabole. - Si e [...]

[...] Donc r = r = 0 Quelle est la vitesse du satellite ? Avec le principe fondamental de la dynamique et en utilisant la conservation du moment cinétique (mouvement plan), on obtient la relation : v0 = GMT R0 Cas particulier de l'orbite rasante = on obtient la première vitesse cosmique vc1 = 7.92 km / s Vitesse de libération (2ème vitesse cosmique) On est sur Terre et on veut partir à l'infini. A quelle vitesse minimale doit-on lancer le satellite ? [...]

[...] MK p = e.FH Cas de l'ellipse On choisit les axes et comme axes de symétrie de l'ellipse. x2 y 2 Equation ellipse : 2 + 2 = 1 où une a b x = a cos(t ) y = b sin(t ) a s'appelle le demi grand axe de l'ellipse et b le demi petit axe de l'ellipse. Par ailleurs, a 2 = b 2 + c 2 c = a 2 b 2 b2 a 2 c 2 On a également, p = = = a(1 e 2 ) a a Equation polaire d'une conique avec origine au foyer On a e = MF p or MK = NH donc NH = NF + FH = cos(θ ) + MK e Donc, r (θ ) = p 1 + e cos(θ ) Cas de l'ellipse : p 2p e 2a = r min + r max = p 1 e2 r max = e r min = a = où, p 1 e2 Cas de la parabole et de l'hyperbole : Dans ce cas, e > 1 ou e = 1 donc cos (θ ) = 1 est possible e II) Equation de la trajectoire dans un potentiel newtonien Formules de Biret (non exigible aux concours) On pose u (θ ) = 1 r (θ ) dr dr d 1 θ du =θ =θ 2 dt dθ dθ u u dθ dr du du 2 Loi des aires : r θ = C donc = = dt r u dθ dθ Donc, dr du = dt dθ d d 2 r d dr d du du = = =θ dt 2 dt dt dt dθ dθ dθ 2 d 2u d 2r C 2 d 2u d u = θ 2 = u dt 2 dθ 2 r dθ 2 dθ d 2r d u Donc, = u dt 2 dθ 2 On peut exprimer l'accélération radiale : d 2u a r = r r θ = u C u dθ 2 u Donc, ar = u d 2u dθ 2 Equation de la trajectoire Dans un référentiel galiléen, on applique le principe fondamental de la dynamique. [...]

[...] Ce référentiel est galiléen. Mouvement d'une planète : Référentiel héliocentrique dont le centre est celui du Soleil avec les même trois axes qui ceux du référentiel de Copernic. Ce référentiel est approximativement galiléen. Mouvement d'un satellite terrestre : Référentiel géocentrique dont le centre est celui de la Terre et les même trois axes qui ceux du référentiel de Copernic. Ce référentiel est approximativement galiléen. [...]

[...] Deuxième loi : C'est la loi des aires. Troisième loi : Indépendant de la planète en question : T2 = cte avec T la période et a le demi grand axe. a3 Aspects énergétiques Dans le référentiel héliocentrique, on considère une orbite elliptique. p p et rpe = e e rap + rpe = 2a rap = 1 2 mC 2 k Em = m r + 2 = E 2r r Si r = r1 ou r = r2 avec r1 = rmin et r2 = rmax alors mC 2 k Em = = E 2r r mC 2 kr E 0 r 2 = k mC + E0 2E 0 On sait que r 1 + r 2 ) = r 1 + r 2 = 2a k E0 Donc, E 0 = k 2a Cas des satellites terrestres : Hypothèse de travail : La Terre est à répartition de masse et à symétrie sphérique (invariance par rotation passant par le centre). [...]