Mécanique : Système formé de deux points matériels

Résumé du document

Système formé de deux points matériels, fiche de physique niveau MPSI de 5 pages

Extraits

[...] e e 2.2 Th´or`me de la quantit´ de mouvement . e e e 2.3 Th´or`me du moment cin´tique . [...]

[...] e e El´ments cin´tiques . Le centre de masse du syst`me (ou encore centre d'inertie, centre de gravit´, e e barycentre) est le point G d´fini par e (m1 + m2 )OG = m1 OM1 + m2 OM2 O ´tant un point quelconque de R ; si O = G e m1 GM1 + m2 GM2 = 0 Choisissons un point O fixe dans R vG = m1 v1 + m2 v2 dOG = dt m1 + m2 Soit le syst`me form´ par deux points mat´riels M1 de masse m de vitesse v e e e soumis a des forces de r´sultante F1 et M2 de masse m de vitesse v soumis a ` e ` des forces de r´sultante F On notera m la somme m1 + m2 e Damien DECOUT - Derni`re modification : f´vrier 2007 e e est la vitesse du centre de masse G par rapport ` R a MPSI - 2005/2006 - M´canique II - Syst`me form´ de deux points mat´riels e e e e page R´f´rentiel barycentrique ee = (GO + OM1 ) m1 v1 + (GO + OM2 ) m2 v2 G = GO (m1 v1 + m2 v2 ) + OM1 m1 v1 + OM2 m2 v2 Le r´f´rentiel barycentrique ou r´f´rentiel du centre de masse, not´ , est le ee ee e r´f´rentiel en translation par rapport a R dans lequel le centre de masse G est ee ` fixe (souvent pris comme origine de ) Attention : pour que soit galil´en, il faut bien sˆr que R soit galil´en mais e u e aussi que vG = cte ´tant en translation par rapport a on peut d´river indiff´remment e ` e e , la composition des vitesses s'´crit par rapport a R ou R ` e v = v + ve = v + vG la composition des acc´l´rations ee a = + ae = + aG = 0 + OM1 m1 (v1 vG ) + OM2 m2 (v2 vG ) = OM1 m1 v1 + OM2 m2 v2 (m1 OM1 + m2 OM2 ) vG = LO OG mvG Cette relation, qui sera ´tudi´e en 2e ann´e, est appel´e th´or`me de Koenig relatif e e e e e e au moment cin´tique e LO = + OG mvG G Energie cin´tique totale e mi vi 2 = m1 v + m2 v Ec = Ec = i i i e El´ments cin´tiques dans e Quantit´ de mouvement totale e Ec = = i pi = i mi vi = m1 v1 + m2 v2 = = = = m1 (v1 vG ) + m2 (v2 vG ) = 0 La quantit´ de mouvement totale du syst`me dans est nulle = 0 e e Moment cin´tique total en G e = m1 v + m2 v m1 (v1 vG + m2 (v2 vG ) m1 v1 + m2 v2 (m1 v1 + m2 v2 ).vG + (m1 + m2 )vG Ec mvG + mvG Ec mvG 2 Cette relation, qui sera ´tudi´e en 2e ann´e, est appel´e th´or`me de Koenig relatif e e e e e e a l'´nergie cin´tique ` e e 1 2 Ec = Ec + mvG 2 = G i LG = i i GMi mi vi = GM1 m1 v1 + GM2 m2 v2 Damien DECOUT - Derni`re modification : f´vrier 2007 e e MPSI - 2005/2006 - M´canique II - Syst`me form´ de deux points mat´riels e e e e page Dynamique du syst`me e Forces int´rieures et forces ext´rieures e e Le mouvement de G est identique ` celui d'un point mat´riel de masse m = a e m1 + m2 soumis a une force ´gale ` la r´sultante des forces ext´rieures ` e a e e D´composons F1 en Fext→1 + Fext→1 est la force exerc´e par l'ext´rieur e u e e sur M1 et la force exerc´e par M2 sur M e De mˆme F2 = Fext→2 + e Les forces et s'exer¸ant entre M1 et M2 sont appel´es forces c e int´rieures au syst`me, les autres forces ´tant les forces ext´rieures au e e e e syst`me e 2.3 Th´or`me du moment cin´tique e e e Soit O un point fixe de R galil´en e Appliquons le th´or`me du moment cin´tique en O ` M1 e e e a dLO1 = OM1 F1 = OM1 Fext→1 + OM1 dt et a M2 ` dLO2 = OM2 F2 = OM2 Fext→2 + OM2 dt en ajoutant membre a membre on fait apparaˆ le moment cin´tique total ` ıtre e d(LO1 + LO2 ) = OM1 Fext→1 + OM2 Fext→2 + M1 M2 dt en utilisant la 3e loi de Newton ou principe de l'action et de la r´action e dLO = MOext dt LO est le moment cin´tique total en O et MOext le moment r´sultant en O u e e des forces ext´rieures qui s'exercent sur le syst`me e e 2.2 Th´or`me de la quantit´ de mouvement e e e ou th´or`me de la r´sultante cin´tique e e e e R ´tant galil´en, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique a e e ` M1 dp1 = F1 = Fext→1 + dt et a M2 ` dp2 = F2 = Fext→2 + dt en ajoutant membre a membre on fait apparaˆ la quantit´ de mouvement totale ` ıtre e d(p1 + p2 ) = F1 + F2 = Fext→1 + Fext→2 + + dt en utilisant la 3e loi de Newton ou principe de l'action et de la r´action e dp = Fext dt p est la quantit´ de mouvement totale et Fext la r´sultante des forces u e e ext´rieures qui s'exercent sur le syst`me e e Etude ´nerg´tique e e Th´or`me de l'´nergie cin´tique e e e e R ´tant galil´en, on peut appliquer le th´or`me de l'´nergie cin´tique ` M1 e e e e e e a dEc 1 = F1 .v1 = Fext→1 .v1 + .v1 dt et a M2 ` dEc 2 = F2 .v2 = Fext→2 .v2 + .v2 dt p = m1 v1 + m2 v2 = mvG dp dvG = m = maG = Fext dt dt Damien DECOUT - Derni`re modification : f´vrier 2007 e e MPSI - 2005/2006 - M´canique II - Syst`me form´ de deux points mat´riels e e e e en ajoutant membre a membre on fait apparaˆ l'´nergie cin´tique totale ` ıtre e e d(Ec1 + Ec2 ) = Fext→1 .v1 + Fext→2 .v2 + .v1 + .v2 dt Contrairement aux deux cas pr´c´dents, il n'y a priori, aucune raison que les e e termes faisant apparaˆ les forces int´rieures disparaissent ıtre e dEc = Pext + Pint dt Ec est l'´nergie cin´tique totale, Pext la puissance des forces ext´rieures et Pint u e e e la puissance des forces int´rieures e Puissance des forces int´rieures e page Lois de conservation Conservation de la quantit´ de mouvement e dp = 0 p = mvG = cte dt Le r´f´rentiel barycentrique est donc galil´en ee e Conservation du moment cin´tique e dLO = 0 LO = cte dt R et ´tant en translation l'un par rapport ` l'autre, on peut d´river indiff´e a e e remment ; comme = LO OG mvG G dLO dvG dLO G = vG mvG OG m = dt dt dt dt G = 0 = cte G dt On aurait pu aussi appliquer le th´or`me du moment cin´tique en G (fixe dans e e e ) dans galil´en e Conservation de l'´nergie m´canique e e Remarquons que la puissance des forces int´rieures est ind´pendante du r´f´rentiel e e ee Pint = .v1 + .v2 = .(v2 v1 ) = .(v2 v1 ) En particulier, pour un syst`me rigide, Pint = 0 e Energie potentielle - Energie m´canique e Si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas dEp dEc dt dt Ep est l'´nergie potentielle totale, alors l'´nergie m´canique totale E = Ec +Ep u e e e se conserve dEc = Pint dt Dans le cadre du programme les forces int´rieures qui s'exercent entre M1 et M2 e sont conservatives (par exemple interaction gravitationnelle ou ´lectrostatique) e dE = 0 E = cte dt R et ´tant en translation l'un par rapport ` l'autre, on peut d´river indiff´e a e e remment ; comme Ec = Ec mvG 2 dEp dEc dEc dvG dEc = mvG . [...]

[...] e Energie cin´tique totale . e e El´ments cin´tiques e e El´ments cin´tiques dans R e i pi = i mi vi = m1 v1 + m2 v2 est la quantit´ de mouvement totale ou r´sultante cin´tique du syst`me e e e e dans R LO = i LOi = i OMi mi vi = OM1 m1 v1 + OM2 m2 v Dynamique du syst`me e 2.1 Forces int´rieures et forces ext´rieures . [...]

[...] e Energie potentielle - Energie m´canique e est le moment cin´tique total du syst`me en O dans R e e Ec = i Eci = i mi vi = m1 v1 + m2 v est l'´nergie cin´tique totale du syst`me dans R e e e 1.2 Centre de masse 3 Syst`me isol´ de deux points mat´riels e e e 3.1 Lois de conservation Conservation de la quantit´ de mouvement . e Conservation du moment cin´tique . [...]

[...] e Conservation de l'´nergie m´canique . e e 3.2 R´duction du probl`me a deux corps a un probl`me a un corps e e ` ` e ` Mobile fictif - Masse r´duite . [...]