Mécanique : Oscillateur harmonique - Régime sinusoïdal forcé

Résumé du document

Oscillateur harmonique - Régime sinusoïdal forcé, fiche de physique niveau MPSI de 3 pages

Extraits

[...] MPSI - M´canique II - Oscillateur harmonique - R´gime forc´ e e e page 1/3 avec 2α = h k 2 et ω0 = m m Oscillateur harmonique - R´gime e forc´ e Table des mati`res e 1 Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux et soumis ` une excitation sinuso¨ a ıdale R´gime transitoire e 3 R´gime sinuso¨ e ıdal forc´ - Utilisation des complexes e 4 R´sonance en ´longation e e 5 R´sonance en vitesse e e C'est la suite du cours Oscillateur harmonique - R´gime libre . [...]

[...] On se limitera a une excitation sinuso¨ ` ıdale R´gime transitoire e x = + La solution est la somme : , solution homog`ne, est solution de e 2 x + 2αx + ω0 x = 0 La solution de cette ´quation diff´rentielle tend vers 0 au bout de quelques e e 1 e (voir cours Oscillateur harmonique - R´gime libre τ= 2α , solution particuli`re, est de la forme e = Xm cos(ωt + ϕ) La solution particuli`re oscille avec la mˆme pulsation que l'excitation. [...]

[...] e e 1 Oscillateur harmonique amorti par frottement visıdale queux et soumis ` une excitation sinuso¨ a R T F x l > l0 P 3 R´gime sinuso¨ e ıdal forc´ - Utilisation des complexes e x = + On parle de r´gime sinuso¨ e ıdal forc´ lorsque devient n´gligeable e e On travaille alors avec les complexes Nous retrouvons les forces du r´gime libre (force de rappel, amortissement) qui e constituent la partie homog`ne de l'´quation diff´rentielle plus la force excitatrice e e e qui constitue le second membre : = hx + F0 cos ωt x F x + 2αx + ω0 x = cos ωt m Damien DECOUT - Derni`re modification : janvier 2007 e x = Xm exp j(ωt + ϕ) = X m exp jωt avec X m = Xm exp jϕ x est solution de 2 x + 2αx + ω0 x = F0 exp jωt m MPSI - M´canique II - Oscillateur harmonique - R´gime forc´ e e e qui devient 2 2 + 2αjω + ω0 m = page 2/3 F0 m Xm F0 m = 2 ω0 ω 2 + j2αω 1 e e Il y a r´sonance en ´longation seulement si Q > (voir le cours d'´lectrocin´e e 2 e ıdal forc´ e tique R´gime sinuso¨ Le d´phasage ϕ est ´gale a l'argument de X m e e ` ϕ = arg X m = arctan x 2αω = arctan 2 Q(1 x2 ) 4 R´sonance en ´longation e e F0 m 2 ω 2 + 4α2 ω 2 (ω0 L'amplitude Xm est ´gale au module de X m e Xm = X m = 2 ω R´sonance en vitesse e dx dt dx = jωx = jωX m exp jωt = V m exp jωt dt F0 m = jω 2 ω0 ω 2 + j2αω que l'on peut aussi ´crire en introduisant le facteur de qualit´ Q et le rapport e e ω ω0 F0 k X = m x2 + kXm F0 x2 Q2 V m = jωX m L'amplitude Vm est ´gale au module de V m e F0 m 2 (ω0 ω 2 + 4α2 ω 2 Q = Q = Vm = V m = ω que l'on peut aussi ´crire en introduisant le facteur de qualit´ Q et le rapport e e ω ω0 Vm = 1 x F0 h 1 + Q2 x 1 x 2 Damien DECOUT - Derni`re modification : janvier 2007 e MPSI - M´canique II - Oscillateur harmonique - R´gime forc´ e e e hVm F0 page Q = Q = x Il y a toujours r´sonance en vitesse. [...]

[...] e e On parle de r´gime transitoire tant que n'est pas n´gligeable. [...]