Mécanique : Dynamique en référentiel non galiléen

Résumé du document

Dynamique en référentiel non galiléen, fiche de physique niveau MPSI de 4 pages

Extraits

[...] e e e Relativit´ galil´enne e e Soit en translation rectiligne uniforme par rapport ` R galil´en a e De mˆme que pour le temps, la m´canique newtonienne postule ´galement e e e (implicitement) l'invariance de la masse et de la force = t = m = F 3 Caract`re galil´en approch´ de quelques r´f´rentiels d'utilisation e e e ee 3 courante 3.1 R´f´rentiel de Copernic ee 3.2 R´f´rentiel h´liocentrique ee e 3.3 R´f´rentiel g´ocentrique ee e 3.4 R´f´rentiel terrestre - Poids ee En notant u = = cte la vitesse de par rapport ` la composition a des vitesses donne = v u Soit la quantit´ de mouvement dans e = = m(v Principe de relativit´ galil´enne e e R´f´rentiels galil´ens ee e Rappel : un r´f´rentiel est galil´en si, dans ce r´f´rentiel, un point mat´riel isol´ ee e ee e e a un mouvement rectiligne uniforme ` Soit M un point mat´riel isol´ dans R galil´en alors a(M = 0 e e e Soit un autre r´f´rentiel ; la composition des acc´l´rations donne ee ee a(M = a(M + ae + ac est galil´en si a(M = 0 c'est a dire si e ` ae = ac = 0 Damien DECOUT - Derni`re modification : f´vrier 2007 e e dp = = F = dt Le PFD a donc mˆme formulation dans tous les r´f´rentiels galil´ens ; plus ee e e e ralement : Dans des r´f´rentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux ee autres, appel´s r´f´rentiels galil´ens, les lois de la physique sont invariantes. [...]

[...] On supposera o o ωRterrestre /Rgocentrique = cte ce qui revient a consid´rer que le r´f´rentiel terrestre est en rotation uniforme ` e ee autour d'un axe fixe du r´f´rentiel g´ocentrique que l'on consid´rera galil´en ; le ee e e e r´f´rentiel terrestre n'est donc pas galil´en. [...]

[...] e e e 2.3 Th´or`me de la puissance cin´tique . [...]

[...] Ou e ee e encore : les lois de la physique restent les mˆmes dans n'importe quel r´f´rentiel e ee galil´en e Le principe de relativit´ repose donc sur cette impression que l'on a d'ˆtre ` l'arrˆt e e a e quand on est dans un v´hicule qui se d´place rectilignement sans cahot ` vitesse e e a constante R ´tant galil´en e e MPSI - M´canique II - Dynamique en r´f´rentiel non galil´en e ee e page 2/4 Si est en rotation uniforme autour d'un axe fixe de R (voir chapitre pr´c´dent) e e ae = 2 er ac = 2ω reθ donc Fie = = +mrω 2 er Fic = = −2mω reθ Fie est par exemple la force centrifuge qui tend ` nous expulser d'un man`ge a e 2 Lois de la dynamique en r´f´rentiel non galil´en ee e Soient en mouvement quelconque par rapport a R galil´en et F la r´sultante ` e e des forces s'exer¸ant sur un point mat´riel M c e PFD Forces d'inertie Dans R galil´en e ma(M = F En utilisant la composition des acc´l´rations ee m(a(M + ae + ac ) = F ou encore ma(M = F mae mac Dans non galil´en, on peut appliquer le PFD en rajoutant les forces d'inertie e d'entraˆ ınement et de Coriolis Fie = Fic = 2.2 Th´or`me du moment cin´tique e e e e Soit un point fixe de en mouvement quelconque par rapport ` R galil´en a e c e et F la r´sultante des forces s'exer¸ant sur un point mat´riel M D´rivons le moment cin´tique en du point M dans e e = M mv(M dt Le PFD dans donne dt = M + Fie + Fic ) = v(M mv(M + M ma(M Ces forces n'´tant pas li´es a la pr´sence d'un autre corps (masse, charge) mais e e ` e seulement au caract`re non galil´en du r´f´rentiel sont plutˆt appel´es pseudoe e ee o e forces Translation et rotation uniforme autour d'un axe fixe Dans non galil´en, on peut donc appliquer le th´or`me du moment cin´tique e e e e en rajoutant les moments des forces d'inertie d'entraˆ ınement et de Coriolis 2.3 Si est en translation par rapport a R (voir chapitre pr´c´dent) ` e e ae = donc Fie = = Fic = = 0 Fie est par exemple la force qui nous plaque contre le si`ge d'une voiture qui e acc´l`re ee ac = 0 Th´or`me de la puissance cin´tique e e e Soit en mouvement quelconque par rapport ` R galil´en et F la r´sultante a e e des forces s'exer¸ant sur un point mat´riel M c e Multiplions scalairement par v(M le PFD dans m on obtient dEc dt = F.v(M + Fie .v(M + Fic .v(M dv(M dt .v(M = + Fie + Fic ).v(M Damien DECOUT - Derni`re modification : f´vrier 2007 e e MPSI - M´canique II - Dynamique en r´f´rentiel non galil´en e ee e comme Fic = = −2mω v(M Fic .v(M = 0 Finalement, dans non galil´en, on peut appliquer le th´or`me de la puissance e e e cin´tique en rajoutant seulement la puissance de la force d'inertie d'entraˆ e ınement, la puissance de la force d'inertie de Coriolis ´tant nulle e page R´f´rentiel terrestre - Poids ee Le r´f´rentiel terrestre a pour origine un point A ` la surface de la Terre et ses ee a axes Ox suivant un m´ridien dans la direction Nord-Sud e Oy suivant un parall`le dans la direction Ouest-Est e Oz suivant la verticale ascendante du lieu tournent autour de l'axe pˆle Sud-pˆle Nord. [...]

[...] ee e 1.2 Relativit´ galil´enne . [...]