Cinématique d'un point matériel

Résumé du document

Ce document traite principalement la première partie de la mécanique qui est la cinématique d'un point matériel. Ce cours contient un résumé du chapitre et explique la globalité du cours avec quelques exercices corrigés.

Extraits

[...] Déterminer l'angle α que fait l'accélération avec la vitesse ? Exprimer le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées polaires ? Solution : Nature de la trajectoire : x=1+cos⁡ty=sin⁡t D'où (x-1)2=cos⁡t y2=sin⁡t nous donne La trajectoire est un cercle de rayon R=1 m et de centre Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes : v=dOMdt=-sin⁡tı+cos⁡tȷ Le module de la vitesse est m/s La nature du mouvement : La vitesse est constante donc le mouvement est circulaire uniforme. La vitesse angulaire ω est constante ω=vR=1rad/s Vecteur accélération : a=dvdt=-cos⁡tı-sin⁡tȷ Le module de l'accélération est : 1 m/s2 Cette accélération représente l'accélération normale aN dans le repère de Frenet car le mouvement est circulaire uniforme : l'accélération tangentielle est nulle aT=0 m/s2 L'angle α entre l'accélération et la vitesse : Par le produit scalaire ou par le produit vectoriel : axv=-cost2 (ıxȷ)x+cos⁡tsin⁡t(ıxı)+sin⁡t2(ȷxı)-sin⁡t(ȷxȷ)axv=-k axv D'autre part : axv =a⋅v⋅sin⁡(a,v)=sin⁡(a,v)α=PI/2 Vecteur vitesse et vecteur accélération en coordonnées polaire : OM=Rur,R=1 m est constant et θ=t v=dOMdt=θRuθ=uθ Le module de la vitesse en coordonnées polaire v=1 m/s a=dvdt=-θur=-ur D'où a=1 m/s2 Exercice 2 : Cycloïde Une roue de rayon R et de centre C roule sans glisser sur un axe Ox. [...]

[...] Le choix d'origine du repère assure ici que xc0=0. On a OA=OH+HC+CA avec H le projeté orthogonal de C sur l'axe Oy. Comme CA= R-sin⁡θex-cos θey,HC=xCex=Rθ et OH=Rey, on obtient : OA=R(1-cos⁡θ)ey+(θ-sin⁡θ)ex. On en déduit les expressions de la vitesse et de l'accélération dans le référentiel R dans lequel ex et ey sont fixes : v =Rθsin⁡θey+Rθ(1-cos⁡θ)ex et a =Rθsinθ+θ2cosθey+Rθ1-cosθ+θ2sinθex Quand le point A repasse en θ=0[2PI], c'est-à-dire au contact avec le sol, on a v=0 et a=Rθ2ey. La vitesse coïncide alors avec la vitesse du point du sol coïncident à l'instant du contact : on dit qu'il y a « roulement sans glissement ». [...]

[...] er et eθ sont mobile dans R. derdtR=derdθxdθdt ; derdθR=-sin⁡(θ)ı+cos⁡(θ)j = eθ d eθdtR=d eθdθxdθdt ; d eθdθR= -cos⁡(θ)i -sin⁡(θ)j = -er derdtR= θ eθ et d eθdtR= - θ er Généralisation : e1 e1 et e2 sont unitaires γ d e1dtR= γ e2 e2 Si Alors : V = r er + r θ eθ r er est la vitesse radiale . r θ eθ est la vitesse ortho-radiale. Si r est constant, alors V θ eθ =Vθ (cas d'un cercle) Si θ est constante, alors V = r er =Vr a=r-rθ2er+(2r θ+rθ) eθ Trajectoire en coordonnées polaires : r = cte = r0 ∀θ : cercle de rayon r0 r = γ θ γ=cte>0 :spirale d'archimede r = r0 eγθ θ= ωt γ=cte>0 :spirale logarithmique r = r0 cos⁡(θ)) : cardoide Exercices d'application : Exercice 1 : Dans un repère cartésien muni de la base un point M en mouvement tel que : OM=(1+cos⁡t)ı+sin⁡tȷ Déterminer la nature de la trajectoire de M ? [...]

[...] Cinématique d'un point matériel La mécanique est la science qui étudie les mouvements des systèmes matériels. La cinématique est la branche de la mécanique consacrée juste à étude descriptive du mouvement. Notion de base : Espace et Temps Dans ce chapitre, on va s'intéresser principalement sur le repérage d'un point qui va nous permettre de calculer la vitesse, son accélération et de décrire son mouvement. Définitions : L'espace est définie pour tout point matériel comme l'ensemble de ses positions par rapport aux autres points. [...]

[...] L'ensemble de ces points constitue par définition une cycloide. Tracer cette courbe. Calculer en fonction de R et de θ et ses dérivées, les composantes de la vitesse et de l'accélération de M. Donner les valeurs des composantes de la vitesse et de l'accélération de M au moment où celui-ci touche l'axe. Solution : Si la roue ne glisse pas, son centre avance à chaque tour d'une longueur égale à son périmètre, soit 2PIR. Comme la roue a alors tourné de θ=2PI, on a xc=xc0+Rθ. [...]