Marche au hasard à 1D et 2D et exploration de la marche 3D

Thèmes abordés

Physique numérique marche aléatoire marche au hasard à 1 2 3 dimension matlab traitement mathématique numérique

Résumé du document

La marche au hasard, ou marche aléatoire, est un modèle mathématique composé d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ».Elle signifie intuitivement qu'à chaque instant, le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé, même le plus proche. Cette modélisation mathématique permet de rendre compte de certains phénomènes naturels, dont l'exemple le plus fameux est le mouvement brownien, correspondant aux mouvements en apparence aléatoires des particules de pollen.

Techniquement, les marches aléatoires sont du domaine de la théorie des probabilités. Une marche au hasard est en effet un processus stochastique. Elle se décompose en unités élémentaires appelées pas, dont la longueur peut être elle-même constante, aléatoire ou fixée par le réseau sur lequel on circule. À chaque pas, on a donc un éventail de possibilités pour choisir au hasard la direction et la grandeur du pas.

Extraits

[...] Par la suite, nous avons rajouté une étape, consistant à tracer le modèle mathématique théorique (Cf partie 3 : Discussion) sur la même figure que l'histogramme. II A deux dimensions Une marche aléatoire à deux dimensions Après avoir effectué ce premier travail sur la marche aléatoire à une dimension il nous a suffi de reprendre le même schéma algorithmique pour la marche aléatoire à deux dimensions. Notre première question fut de savoir comment l'on pouvait se déplacer dans l'espace à deux dimensions. [...]

[...] Cela nous a permis de choisir des valeurs de M en fonction du temps d'exécution que nous voulions. Ainsi nous avons choisis de ne pas dépasser 12h d'exécution, sachant qu'il faut environ 9,5s pour M=1000, nous avons choisis, comme valeur maximum de (3600*12*1000)/9,5=4547368 que l'on a arrondis a 4,5 millions répétitions de la marche aléatoire. Finalement, nous avons produit sept histogrammes, présentés par la suite. Ce petit travail préliminaire sur la complexité nous a permis d'anticiper sur les temps de calcul. [...]

[...] =p.n. CNn . pn .q(N-n) =p.p . pn. CNn .q(N-n) =p. pn. CNn .q(N-n) Or CNn . pn .q(N-n) binôme de newton = p . p.(p+q)N = p . [...]

[...] On constate que celui-ci une distribution de Gauss. Pour le vérifier, nous avons rajouté dans le code, comme mentionné (cf le tracé de cette distribution, qui théoriquement est : µ=moyenne de x=0 σ=écart-type= N=1000 Nous obtenons ainsi cette courbe pour N=1000 et : On constate que la gaussienne n'est pas visible. C'est normal, car une gaussienne, définie de cette façon, ne peut être supérieure à 1. C'est pourquoi nous avons multiplié l'expression par un facteur k que nous avons estimé à 2M, après plusieurs essais. [...]

[...] En effet cela n'entraine qu'un élargissement de la gaussienne et une augmentation du temps de calcul. Nous l'avons donc fixé à 1000. II Moyenne et variance Nous avons vu que la moyenne théorique valait c'est pourquoi, dans le but de la comparer, nous avons tracé l'évolution la valeur absolue de la différence entre la moyenne théorique et notre moyenne obtenue numériquement, en fonction de M (nombre de fois que la marche aléatoire à été effectuée). Cela nous donne la courbe suivante : On constate que plus la valeur de M augmente, c'est à dire plus on effectue de marches aléatoires, plus la valeur moyenne de la position finale tend vers zéro. [...]