La résolution de l'équation de Poisson

Résumé du document

Lorsque l'on simule sur ordinateur l'effet d'un phénomène physique sur un corps, la représentation graphique qui nous est donnée par le logiciel utilisé n'est en fait qu'une approximation de la réalité. Nous nous proposons alors d'expliciter le raisonnement adopté par les développeurs de ce type de logiciel dans le cas de phénomènes physiques faisant apparaître une équation de Poisson. L'étude qui va suivre s'inscrivant dans le cadre d'un projet mathématique, sera par conséquent plus détaillée sur l'aspect mathématique que sur l'aspect physique ou informatique. Néanmoins nous avons fait le choix de suivre un ordre chronologique partant des motivations
physiques pour arriver à l'implémentation informatique.
Notre étude porte essentiellement sur les problèmes d'optimisation des méthodes de l'analyse numérique. Sa mise en pratique pour la résolution de l'équation de Poisson met en relief les problèmes de convergence, de rapidité et de coûts d'exécutions relatifs aux méthodes utilisées.
D'une manière générale, les équations différentielles dictées par les lois de la physique peuvent être résolues par des méthodes directes ou itératives d'analyse numérique en passant de la réalité continue à une représentation discrète. C'est le procédé de discrétisation. Par la discrétisation du problème, on fait apparaître des erreurs qui se propagent différemment selon la méthode que l'on applique, c'est le problème de la stabilité numérique. L'art de l'analyse numérique consiste donc à trouver un algorithme stable spécifique au problème que l'on cherche à résoudre.

Extraits

[...] The system which has to be solved is Au = b. From then, we have to use some methods. But these methods when they are applied by the human took a very long time. That' s why, we must use a computer to solve this kind of linear system. We could use Matlab for example, to solve it. [...]

[...] C'est pour cela, qu' avant de commencer la résolution un système linéaire, le problème du coût des calculs ou de la complexité un algorithme impose. L'unité de mesure de la puissance d'un calculateur est donné en Megaflops (Mflops) où 1 Mflops= opérations en virgule flottante par seconde. Cette mesure n'est qu'indicative car la vitesse de calcul peut varier en fonction de l'algorithme utilisé et de la taille du problème traité. Les plus gros calculateurs au monde ont des puissances supérieures à 106 Mflops= 1 Teraflops. [...]

[...] ω est appelé paramètre de pondération et est différent de zéro. Le choix de la valeur de ce paramètre influe sur la qualité de la convergence. Il faut se débrouiller pour pour obtenir une convergence optimale quand on choisit ce paramètre. Construction de la matrice itération des méthodes de relaxation : 1 - ωE) D+F ω ω 1 ω ωE) - Lω D + F = D F ω On suppose que - ωE) est inversible. = - ωE)-1 [ ω) D + ωF ] + ω - ωE)-1 b avec Lω = - ωE)-1 [ ω) D + ωF ] = M-1 N matrice itération de la méthode de relaxation Tableau récapitulatif : Nom de la méthode Jacobi GaussSeidel Relaxation Décomposition de A A = D + A = F 1 ω Matrice itérative de la méthode J = D-1 ( E + F ) L1 = F ωE) - Lω L = - ωE)-1 [ ω) D + ωF ] D + F = D F ω ω Ces méthodes sont convergentes si le rayon spectral de la matrice itérative de la méthode est inférieur à Problème de convergence des méthodes itératives. [...]

[...] = cela signifie que l' E dl c integrale ne depend pas du chemin choisie. represente la différence d' une fonction de la position des deux extremities A et d' ou la notion de difference de potentiel. Dans un cas plus général rot = qu' il existe une fonction 0 E E φ / = - φ . Ici la fonction φ ou encore le potentiel represente la grad tension V. ρ Donc apres et : div = grad εo ou encore : ΔV= εo ce qui correspond à une équation de Poisson pour un problème électrostatique. [...]

[...] Les problèmes de convergences seront traités après. Soit le système Au = b et b = avec A = [ ] Appliquons xi = 1 aii (bi Σ aij Nous avons une matrice 2x2 donc i prend les valeurs allant de 1 à 2. Pour k = la formule devient xi = 1 aii n (bi Σ aij j=1 et on obtient une expression du type xi en faisant varier i de 1 à nous allons obtenir successivement les valeurs de x1(1) puis de cela correspond à écriture du premier vecteur x j de 1 à n j de composantes x Il faut faire attention de faire varier et pour b1 pour i = 1 x1(1) = a11 pour i = = x2(1) = (b1 (a21 * = 2 * * 2 ) = 2 a11 Ainsi de suite jusqu' à la k ième itération où on se rendra compte du nombre vers lequel la suite de vecteurs convergent La méthode de Gauss-Seidel. [...]