Processus stochastiques

Résumé du document

L'objectif de ce programme est de calculer la probabilité pour un joueur de gagner un match de tennis en ne connaissant que la probabilité pour ce joueur de gagner un point. Nous afficherons également le nombre de points moyens en fonction de la probabilité que ce joueur à de gagner un point.
Nous allons pour cela simuler un match de tennis.

Le joueur A a une probabilité p de gagner un échange (en rouge) et le joueur B a une probabilité q (q=1-p) de gagner un échange (en bleu).
On veut programmer une fonction Scilab qui va calculer la probabilité que A gagne un jeu.

Extraits

[...] On veut programmer une fonction Scilab qui va calculer la probabilité que A gagne un jeu. En modélisant un jeu, on obtient la chaîne de Markov suivante : Pour calculer la probabilité q que A gagne un jeu on va utiliser la méthode qui nous permet de calculer la probabilité d'atteindre un état absorbant. En effet, dans le graphe tracé précédemment on constate qu'il y a deux états absorbants (l'état où A gagne le jeu et l'état où B gagne le jeu). Les autres états sont des états transitoires. [...]

[...] On obtient ce vecteur en lisant uniquement sur le graphe les probabilités de chaque état arrivant sur l'état absorbant A gagne M2 se construit de la même manière que M1 mais avec les probabilités des états arrivant sur l'état absorbant B gagne On a donc : M1= et M2= Pour trouver la probabilité d'atteindre l'un des deux états absorbants du graphe, il faut calculer la matrice X=M. X qui est de la forme : X = On trouve donc les relations suivantes : X0 = X1 = - M0)-1 M1, X2 = M1)-1 M2, L'élément X0 représente la probabilité d'être absorbé par un état transitoire Les éléments X1, X2 représentent les probabilités d'atteindre les états absorbants. On cherche donc dans cette question la valeur de X1, et plus précisément le premier élément du vecteur qui est la probabilité que le joueur A gagne un jeu. [...]

[...] Par contre, à une probabilité 0.5 le nombre d'échanges moyen est très grand. Ceci peut s'expliquer par le fait que plus les deux joueurs auront un niveau différent, représenté ici par une probabilité de gagner qui tendra plus vers 0 ou moins il y aura d'échanges pour gagner un jeu, moins il y aura de jeux pour gagner un set et moins il y aura de set pour gagner le match (les points seront moins disputés). Alors que si les deux joueurs ont une même probabilité de gagner (un niveau identique), alors il y aura un maximum d'échanges pour atteindre un jeu(les points seront alors plus disputés). [...]

[...] On retourne encore ici le premier élément du vecteur X1. On note r cette probabilité. Programme pour un match Notre objectif ici est de programmer une fonction Scilab qui va calculer la probabilité que le joueur A gagne un match. On utilise encore la même méthode que pour les deux dernières questions avec ici 11 états : deux états absorbants et neuf états transitoires. [...]

[...] Processus stochastiques Objectif L'objectif de ce programme est de calculer la probabilité pour un joueur de gagner un match de tennis en ne connaissant que la probabilité pour ce joueur de gagner un point. Nous afficherons également le nombre de points moyens en fonction de la probabilité que ce joueur a de gagner un point. Nous allons pour cela simuler un match de tennis. Programme pour un jeu Le joueur A a une probabilité p de gagner un échange (en rouge) et le joueur B a une probabilité q de gagner un échange (en bleu). [...]