Mécanique statistique : notions de base - publié le 13/06/2006

Résumé du document

I. Variables aléatoires. 1) Quelques définitions. 2) Loi binomiale. 3) Fonction caractéristique. 4) Quelques distributions importantes en physique. 5) Passage d'une distribution à l'autre. 6) Système de plusieurs variables aléatoires. II. Ensemble microcanonique – L'entropie en mécanique statistique. 1) Ensemble microcanonique. 2) Equilibre thermique – Notion d'entropie et de température. III. Distribution de Boltzmann – ensemble canonique. 1) Le facteur de Boltzmann. 2) Fonction de partition. 3) Exemples d'utilisations de la fonction de partition. 4) Pression et premier principe de la thermodynamique. 5) Gaz parfait monoatomique

Extraits

[...] L'énergie de l'état / le nombre de particules doit être dans le domaine où l'énergie U / le nombre N de particules du système est spécifiée. Pour les grands systèmes et Un système isolé a une probabilité égale d'être dans l'un des états quantiques accessibles. L'ensemble g des états quantiques accessibles est appelé ensemble micro canonique. Exemple calcul de g Soit un solide comprenant N particules indépendantes de direction parallèle ou anti-parallèle de moment magnétique total avec le moment magnétique de chacun. [...]

[...] On retrouve bien une forme de Gaussienne. Théorème central limite La somme d'un grand nombre de variables aléatoires stochastiquement indépendantes et satisfaisant à des conditions très larges ( possédant une borne supérieure) tend vers une variable aléatoire gaussienne. Soit ; on pose (plus resserré) On a donc comme fonction caractéristique Or On a donc On a donc et Si les variables ne sont pas indépendantes, on aura avec et En effet si les aN sont équivalentes on retrouve bien en injectant dans notre expression Système de plusieurs variables aléatoires Probabilité que x soit compris entre x et x+dx et y et y+dy : On déduit donc la probabilité de tomber dans un volume autour de : Valeur moyenne Définition : Propriétés : Fonction de distribution de x quelque soit y Fonction de distribution conditionnelle Variables sans corrélation indépendance stochastique - Si dépend de y0 alors il y a corrélation - Si ne dépend pas de y0 alors et Composition de deux variables aléatoires stochastiquement indépendantes Soit x et y ; et Soit z=x+y On somme sur x et on ne retient y que sur dy=dz On obtient ou c'est-à-dire un produit de convolution. [...]

[...] On pose On a donc et N particules peuvent être ordonnées entre elles de façons. On a donc comme nombre total de séquences indépendantes : Remarque : différence entre et la fonction de distribution La fonction de distribution sera elle égale à la probabilité d'une séquence quelconque, ici = (puisqu'on a N spins à orienter et que chaque moment pris séparément a une chance sur deux d'obéir à la consigne) ; multipliée par la probabilité d'une séquence particulière, c'est-à-dire g(n). [...]

[...] Physique statistique I Variables aléatoires Tout d'abord les mathématiques nécessaires à la suite des événements Quelques définitions - Expérience stochastique = expérience que l'on peut réaliser un très nombre de fois dans des conditions identiques - Variable aléatoire : c'est la variable dont on veut connaître les caractéristiques mais que l'on ne peut pas connaître de manière certaine. On va donc chercher sa probabilité de présence par exemple. Une variable aléatoire peut être discrète, dans le cas quantique, et prend des valeurs xn avec N . La somme des probabilités de trouver la valeur xn est égale à 1 : A grande échelle une variable aléatoire est continue, elle peut prendre une infinité continue de valeurs dans un intervalle donné avec dP(x0> 1 et que avec alors notre distribution tend vers une Gaussienne. [...]