Mécanique quantique : notions de base

Résumé du document

Ce document est un cours donnant les notions de base en mécanique quantique. Il est divisé en quatre partiers : la dualité onde particule, l'équation de Schrödinger, le spin et potentiels constants par morceaux. La mécanique quantique fixe un cadre mathématique tout à fait cohérent qui a permis de remédier à tous les désaccords entre certains résultats expérimentaux mis en évidence à la fin du XIXe siècle et les prédictions théoriques correspondantes de la physique classique. La mécanique quantique a repris et développé l'idée de dualité onde-corpuscule introduite par de Broglie en 1924 consistant à considérer les particules de matière non pas seulement comme des corpuscules ponctuels, mais aussi comme des ondes, possédant une certaine étendue spatiale. Bohr a introduit le concept de complémentarité pour résoudre cet apparent paradoxe : tout objet physique est bien à la fois une onde et un corpuscule, mais ces deux aspects, mutuellement exclusifs, ne peuvent être observés simultanément. Si l'on observe une propriété ondulatoire, l'aspect corpusculaire disparaît. Réciproquement, si l'on observe une propriété corpusculaire, l'aspect ondulatoire disparaît.

Extraits

[...] Ondes La probabilité totale n'est plus la somme des probabilités pour chacun des trous, on a ici présence d'interférences. A certains endroits les ondes sont en phase et on a un maximum, on dit que les ondes interfèrent constructivement. Lorsque la différence de phase est égale à π on a par contre une interférence destructive. Electrons Un clic se produit lorsqu'un électron frappe le détecteur. Il n'y a pas de demi clic, l'électron arrive donc en paquet. On a donc ici le même phénomène que pour les balles de fusil. [...]

[...] C'est pour cela aussi que nous-mêmes ne ressentons pas les phénomènes quantiques à notre échelle. Principe d'incertitude (Schéma) (on retrouve l'importance de la constante de Planck) On ne peut donc pas connaître à chaque instant la quantité de mouvement et la position. Généralisation à l'aide du Lagrangien Si J et φ sont des variables conjuguées c'est-à-dire alors Calcul de l'incertitude Soit par exemple un paquet d'onde Gaussien centré en x0 d'étendue a Ce que l'on mesure lors d'une mesure quantique correspond à sa largeur soit k0 est le vecteur d'onde moyen, c'est l'incertitude qui nous intéresse, on va donc représenter ce paquet d'onde comme une superposition de vecteurs d'ondes en les sommant. [...]

[...] Les opérateurs Sx et Sz ne commutent pas et n'ont pas d'états propres communs. On exprime l'état sur la base : Les coefficients u et v doivent avoir les mêmes modules car les faisceaux émergeants du second Stern-Gerlach ont la même intensité : Si on considère par α la phase relative de v par rapport à on a Lorsqu'on injecte le faisceau du premier Stern-Gerlach dans le second on obtient de la même manière : Ces deux états doivent être orthogonaux donc ce qui implique donc Or On en déduit Et On a donc ou encore Avec On a donc En faisant le même raisonnement pour on obtient Les faisceaux doivent avoir la même intensité donc Or on connaît tous ces termes et on en déduit c'est-à-dire , on choisit par convention et On obtient donc bien les opérateurs et Relations de commutations De même etc Représentation d'une rotation dans l'espace des spins Deux approches possibles : - rotations infinitésimales et composition - diagonalisation de l'hamiltonien de spin : à la rotation qui transforme z en u correspond la matrice de passage de la base vers la base des états propres de l'Hamiltonien de spin H. [...]

[...] Les états dégénérés ayant la même valeur propre forment un sous espace vectoriel de dimension g. Exponentiation d'opérateurs Hermitiens Attention ! sauf si AB=BA Application Soit une fonction Soit l'opérateur de translation Ta car Or On a donc Taf(x)=f(x+a) Propriété : TaTb=TbTa=Ta+b Opérateur unitaire Définition Ce sont des opérateurs qui conservent la norme et les produits scalaires Or en mécanique quantique, on a conservation de la probabilité (cf. après) et les normes et les produits scalaires doivent être conservés (le résultat d'une mesure ne dépend pas de la base). [...]

[...] Si on effectue une rotation qui change la direction du champ magnétique de en alors et ne seront plus les états propres de Par contre on pourra les exprimer en fonction puisqu'on a une base. avec β,α complexes et En deux dimensions la relation de fermeture devient Représentation sur la base et avec facteur gyromagnétique de l'électron H représente l'hamiltonien d'un moment magnétique plongé dans un champ magnétique extérieur B. On a donc selon L'état est un état propre de l'hamiltonien (et état stationnaire de l'équation de Schrödinger) avec = (idem pour ) Si on souhaite obtenir l'évolution temporelle d'un état quelconque de spin On utilise la linéarité de l'équation de Schrödinger et on a : Expérience de Stern et Gerlach Principe de l'expérience Un aimant dont les pôles sont façonnés en demi lune permet de produire un champ inhomogène (de manière à induire une force sur l'atome) Les atomes sont donc déviés à la sortie de l'aimant avec une déviation de avec a l'accélération de la forme donc à la sortie de l'aimant les atomes ont acquis une vitesse transverse avec On a donc comme déviation Les atomes dérivent ensuite à vitesse constante jusqu'aux détecteurs ce qui implique une déviation supplémentaire z2. [...]