Comment décrire, analyser et exploiter une marche aléatoire ?

Résumé du document

En mathématiques et en physique théorique, les marches aléatoires modélisent des systèmes à dynamique discrète. Ces marches sont composées d'une succession de pas aléatoires, indépendant les uns des autres, cela signifie intuitivement qu'à chaque instant, le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé, même le plus proche. Pour cette dernière raison, on dit parfois que le système « perd la mémoire » à mesure qu'il évolue dans le temps. Ainsi, on appelle parfois ce problème « marche de l'ivrogne ».
Cette modélisation mathématique permet de rendre compte de certains phénomènes naturels : ainsi Brown en 1820, puis Einstein en 1905, ont décrit de cette façon le mouvement d'une particule dans un fluide, soumis au choc de ses voisines.

Extraits

[...] Comment décrire, analyser et exploiter une marche aléatoire ? En mathématiques et en physique théorique, les marches aléatoires modélisent des systèmes à dynamique discrète. Ces marches sont composées d'une succession de pas aléatoires, indépendant les uns des autres, cela signifie intuitivement qu'à chaque instant, le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé, même le plus proche. Pour cette dernière raison, on dit parfois que le système perd la mémoire à mesure qu'il évolue dans le temps. [...]

[...] finalement, on a n-uplets avec chacun une probabilité de pk qn-k. D' où la formule générale: Pour en revenir à notre marche aléatoire isotrope surΖ on pose arbitrairement, mouvement vers la droite⇔succès⇔ X=1. Et, ayant l'équiprobabilité on obtient directement la formule suivante: Grâce cette formule on peut par exemple calculer la probabilité que le système se soit déplacé 5 fois vers la droite au bout de 10 pas (elle est environ de 0,25). On peut obtenir la position du système en prenant la valeur pour la marche initiale, en ajoutant 1 pour chaque pas vers la droite et en retranchant 1 pour chaque pas vers la gauche. [...]

[...] Cette variable suit alors une loi de Bernoulli. La loi de Bernoulli exprime X en fonction du nombre d'épreuves de Bernoulli que l'on répète. n épreuves de Bernoulli indépendantes les unes des autres, conduisent à la création d'un univers Un constitué de n couples d'éléments d'U tels que Un La probabilité de l'éventualité avec k succès et n-k échecs aura donc une valeur de pk qn-k. Plus généralement, tout n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura une probabilité de pk qn-k, quelque soit l'ordre d'apparition des S et des E. [...]

[...] Pour prendre un exemple simple, imaginons une personne sur un escalier, descendant ou montant une marche de manière aléatoire. A chaque pas, elle n'a que 2 possibilités : un pas en avant ou un pas en arrière. Voici un schéma explicatif de la marche aléatoire discrète sur Ζ: Sur ce schéma : p représente la probabilité que le système (ou l‘individu) se déplace d'un pas (ou d'une marche) vers la gauche. q représente la probabilité qu'il se déplace vers la droite. [...]

[...] Les lignes en pointillés, indiquent les extremums atteins par la marche. On représente la position du système x en fonction du temps t (en seconde), sachant qu'il y a 1 pas par seconde. Spécimen : Spécimen : On remarque que si on regroupe un grand nombre de spécimens, alors le nuage des positions est centré autour de l‘origine. Cela signifie qu'il est improbable de beaucoup s'éloigner du point initial x=0. D'ailleurs, on peut montrer que la loi binomiale se comporte asymptotiquement comme une distribution Gaussienne. [...]