Calcul d'une variation d'entropie

Résumé du document

Toujours en utilisant la première identité thermodynamique, on peut calculer la variation d'entropie en fonction de la température et du volume (...)

Extraits

[...] On utilise la première identité thermodynamique : 𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 𝑃𝑑𝑉 𝑑𝑈 𝑃 𝑑𝑆 = + 𝑑𝑉 𝑇 𝑇 𝑑𝑈 = 𝐶𝑉 𝑑𝑇 = Pour un gaz parfait, on a : 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃 𝑇 = 𝑉 𝑑𝑆 = Donc : D'où : 𝑛𝑅 𝑑𝑆 = 𝑛𝑅 𝑛𝑅 𝑑𝑇 + 𝑛𝑅 𝛾−1 𝑇 1 𝑑𝑇 + 𝛾 𝑇 𝑑𝑉 𝑛𝑅 𝛾 𝑑𝑇 et 𝑑𝑉 𝑉 𝑉 Maintenant, calculons l'entropie sous forme intégrale. On réutilise le fait que le gaz soit parfait : 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 En passant au logarithme dans l'équation précédente, on obtient : ln 𝑃 + ln 𝑉 = ln(𝑛𝑅) + ln 𝑇 Puis on différencie cette nouvelle équation : 𝑑 ln 𝑃 + 𝑑 ln 𝑉 = 𝑑 ln(𝑛𝑅) + 𝑑 ln 𝑇 𝑑𝑃 𝑃 𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑇 𝑇 Or 𝑛𝑅 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 donc ln 𝑛𝑅 = 𝑐𝑠𝑡𝑒2 d'où 𝑑 ln(𝑛𝑅) = 𝑑 𝑐𝑠𝑡𝑒2 = 0 𝑑𝑃 𝑑𝑉 𝑑𝑇 Finalement : + = 𝑃 En remplaçant obtient : 𝑑𝑇 𝑇 𝑉 par l'équation précédente dans l'équation encadrée, on 𝑑𝑆 = 𝑛𝑅 𝑑𝑆 = 𝑑𝑆 = 𝑇 𝑛𝑅 1 𝛾−1 𝑑𝑃 𝛾−1 𝑃 𝑛𝑅 𝑑𝑃 𝛾−1 𝑑𝑃 𝑃 + 𝑃 𝑑𝑉 𝑉 +𝛾 + 𝑑𝑉 𝑉 + 𝑑𝑉 𝑉 + (𝛾 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑉 𝑉 En intégrant la dernière équation encadrée entre l'état 0 et l'état on a : ∆𝑆 = ∆𝑆 = ∆𝑆 = 𝑑𝑆 = 𝑛𝑅 𝛾−1 𝑛𝑅 𝛾−1 𝑛𝑅 𝑑𝑃 𝛾−1 𝑃 +𝛾 𝑑𝑉 𝑉 = 𝑛𝑅 𝑑𝑃 𝛾 𝑃 +𝛾 ln 𝑃1 ln 𝑃0 + 𝛾 ln 𝑉1 ln 𝑉0 ln 𝑃1 𝑃0 + 𝛾 ln 𝑉1 𝑉0 𝑑𝑉 𝑉 𝑛𝑅 ∆𝑆 = 𝛾−1 𝑃1 ln + 𝑃0 𝑛𝑅𝛾 𝛾 𝐶𝑉 𝑉1 ln 𝑉0 𝐶𝑃 Finalement, on obtient l'expression suivante pour la variation d'entropie : 𝑃1 ∆𝑆 = 𝐶𝑉 ln 𝑉1 + 𝐶𝑃 ln 𝑃0 𝑉0 A partir de cette équation, on peut retrouver l'équation de Laplace lorsque la transformation du gaz parfait est adiabatique et réversible, donc isentropique. [...]

[...] Exemples de calculs d'entropie 1. En utilisant la première identité thermodynamique Tout d'abord, trouvons une écriture de l'entropie sous forme différentielle, afin de calculer la variation d'entropie en fonction de la pression et du volume. [...]

[...] Reprenons l'équation obtenue précédemment : 𝑑𝑆 = 𝑛𝑅 1 𝑑𝑇 𝛾 𝑇 + 𝑑𝑉 𝑉 De même que précédemment, on intègre l'équation entre l'état 0 et l'état ce qui nous donne : ∆𝑆 = 𝑛𝑅 1 𝑑𝑇 𝛾−1 𝑇 + 𝑑𝑉 𝑉 En sautant quelques étapes de calcul, on aboutit à : ∆𝑆 = 𝑛𝑅 1 𝛾−1 𝑇1 ln + ln 𝑇0 𝑉1 𝑉 En utilisant la seconde identité thermodynamique En utilisant la seconde identité thermodynamique, on obtient l'expression de la variation d'entropie en fonction de la température et de la pression. [...]